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階乗数のp指数に関するLegendreの定理

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$p$ を素数, $x$ を有理数とする. $x\neq 0$ のとき, 整数における素因子分解の一意性により, $$ x = p^{m}\frac{a}{b},\quad a,\,b\in\mathbb{Z},\quad \gcd(a, p)=\gcd(b, p)=1 $$ となるような整数 $m$ が ($p$ と $x$ に対して) 一意的に定まる. この $m$ を $\mathrm{ord}_{p}(x)$ で表す. また, $\mathrm{ord}_{p}(0)=\infty$ と定める. $\mathrm{ord}_{p}(x)$ を $x$ の $p$ 指数という.

[定理 (Legendre)] $a$ を正の整数とし, その $p$ 進展開を $$ a=\sum_{k=0}^{r}a_{k}p^{k},\quad 0\leq a_{k}\leq p-1 $$ とする. このとき, $$ \mathrm{ord}_{p}(a!) = \frac{1}{p-1}\left(a-\sum_{k=0}^{r}a_{k}\right) $$ が成り立つ.

[証明] 次の等式はよく知られている. $$ \mathrm{ord}_{p}(a!) = \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{a}{p^{i}}\right\rfloor. $$ $a$ の $p$ 進展開より, $$ \left\lfloor\frac{a}{p^{i}}\right\rfloor = \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=i}^{r}a_{k}p^{k-i}, & \mbox{$i=1$, $2$, $\ldots$, $r$ のとき}, \\ 0, & \mbox{$i>r$ のとき}. \end{cases} $$ ゆえに, \begin{align*} \mathrm{ord}_{p}(a!) &= \sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{k=i}^{r}a_{k}p^{k-i}\right) = \sum_{k=1}^{r}\left(\sum_{i=1}^{k}a_{k}p^{k-i}\right) \\ &= \sum_{k=1}^{r}a_{k}\left(\sum_{i=1}^{k}p^{k-i}\right) = \sum_{k=1}^{r}a_{k}\cdot\frac{p^{k}-1}{p-1} \\ &= \frac{1}{p-1}\left(\sum_{k=1}^{r}a_{k}p^{k} - \sum_{k=1}^{r}a_{k} \right) \\ &= \frac{1}{p-1}\left(a - \sum_{k=0}^{r}a_{k} \right) \end{align*} となる. (証明終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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