微分法の問題

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[問題] $a$, $b$ を実数, $n$, $m$ を整数とし, $a>0$, $n\geq 1$, $am \leq b$ であるとする. このとき, $x>e^{n-m}$ において, 関数 $\displaystyle\frac{a\log x + b}{\sqrt[n]{x}}$ は減少する. これを証明せよ.

[解答例] $\displaystyle f(x)=\frac{a\log x + b}{\sqrt[n]{x}}$ とおく. 導関数 $f'(x)$ を計算すると, $$ f'(x) = \frac{an-(a\log x+b)}{nx\sqrt[n]{x}}. $$ $x>e^{n-m}$ のとき, $nx\sqrt[n]{x}>0$ であり, \begin{align*} an-(a\log x+b) &< an-(a\log e^{n-m}+b) \\ &= an-\bigl(a(n-m)+b\bigr) \\ &= am - b \leq 0 \end{align*} であるから, $f'(x)<0$. ゆえに, $f(x)$ は減少する.

【theme : 数学
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