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メビウス関数の値の和

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$\mathbb{Z}^{+}$ を正の整数全体からなる集合とする. 各 $n\in\mathbb{Z}^{+}$ に対し, $$ \mu(n) = \begin{cases} 1, & \mbox{$n=1$ のとき}, \\ (-1)^{k}, & \mbox{$n$ が異なる $k$ 個の素数の積であるとき}, \\ 0, & \mbox{$n$ が平方因子をもつとき} \end{cases} $$ によって定義される関数 $\mu(n)$ を Möbius 関数という.

[定理] $n$ を正の整数とする. このとき, $$ \sum_{d\mid n}\mu(d) = \begin{cases} 1, & \mbox{$n=1$}, \\ 0, & \mbox{$n>1$}. \end{cases} $$ が成り立つ.

[証明] $n=1$ のとき, $$ \sum_{d\mid 1}\mu(d) = \mu(1) = 1. $$

$n>1$ のとき, $$ n = p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{r}^{e_{r}} $$ と素因数分解すれば, $n$ の約数 $d$ は $$ d = p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots p_{r}^{f_{r}},\quad 0\leq f_{i}\leq e_{i} $$ と表せる. $f_{1}$, $f_{2}$, $\ldots$, $f_{r}$ の中に $1$ より大きいものが存在すれば, $\mu(d)=0$ である. よって, \begin{align*} \sum_{d\mid n}\mu(d) &= \mu(1) + \sum_{i=1}^{r}\mu(p_{i}) + \sum_{i<j}\mu(p_{i}p_{j}) + \sum_{i<j<k}\mu(p_{i}p_{j}p_{k}) \\ &\qquad + \cdots + \mu(p_{1}p_{2}\cdots p_{r}) \\ &= 1 - r + \binom{r}{2} - \binom{r}{3} + \cdots + (-1)^{r} \\ &= (1-1)^{r} = 0 \end{align*} となる. (証明終)

[別証] $n=1$ のとき, $$ \sum_{d\mid 1}\mu(d) = \mu(1) = 1. $$ $n>1$ のとき, $n$ は必ず素因子をもつ. $n$ のすべての素因子を $1$ つずつ掛けた積を $T$ とする. $n$ の約数 $d$ について, $d$ が $T$ を割らなければ, $d$ は平方因子をもち, $\mu(d)=0$ となる. よって, $$ \sum_{d\mid n}\mu(d) = \sum_{d\mid T}\mu(d). $$ $T$ の素因子 $p$ を $1$ つとり, $T'=T/p$ とおくと, $$ \{ d \mid \mbox{$d$ は $T$ の約数} \} = \{ d \mid \mbox{$d$ は $T'$ の約数}\} \cup \{ pd \mid \mbox{$d$ は $T'$ の約数} \} $$ であり, 右辺は集合の直和であるから, \begin{align*} \sum_{d\mid T}\mu(d) &= \sum_{d\mid T'}\mu(d)+\sum_{d\mid T'}\mu(pd) \\ &= \sum_{d\mid T'}\mu(d)-\sum_{d\mid T'}\mu(d) \\ & = 0 \end{align*} となる. (証明終)

[系] $n$ を正の整数とする. このとき, $$ \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right) = \begin{cases} 1, & \mbox{$n=1$}, \\ 0, & \mbox{$n>1$} \end{cases} $$ が成り立つ.

[証明] 集合の等式 $$ \left\{ \frac{n}{d} \biggm| \mbox{$d$ は $n$ の約数} \right\} = \{ d \mid \mbox{$d$ は $n$ の約数} \} $$ より, $$ \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d\mid n}\mu(d). $$ 上の定理より, 求める結果が得られる. (証明終)

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