スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

Diophantus方程式の例

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

Pell 方程式

$m$ を平方数ではない正の整数とするとき, $x$, $y$ についての方程式 $$ x^{2} - my^{2} = \pm 1 $$ は Pell 方程式と呼ばれている.

Pell 方程式は Euler による命名だが, Pell 自身はこの方程式に無関係のようである.

Pell 方程式の最小の正整数解 $(a, b)$ は, $\sqrt{m}$ の連分数展開を利用して求めることができる. さらに, $x_{0}=1$, $y_{0}=0$ とおくとき, 漸化式 \begin{equation*} \begin{array}{l} x_n = ax_{n-1}+bmy_{n-1}, \\ y_n = bx_{n-1}+ay_{n-1} \end{array} \quad (n=1,2,\ldots) \end{equation*} で定まる $(x_{n}, y_{n})$ ($n=1,2,\ldots$) が正整数解のすべてである.

Thue 方程式

$m$ を整数とし, $F(x, y)$ を整数係数の既約同次多項式で次数が $3$ 以上のものとする. $F(x, y)$ は $$ F(x, y) = \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i},\quad a_{i}\in\mathbb{Z},\quad n\geq 3 $$ なる形をしている. このとき, $x$, $y$ についての方程式 $$ F(x, y) = m $$ は Thue 方程式と呼ばれている.

[定理 (A. Thue, 1909)] Thue 方程式は高々有限個の整数解しかもたない.

さらに, 1968年, A. Baker は Thue 方程式の整数解の大きさに関する具体的な上界を与えた. これにより, 原理的には, Thue 方程式の各々について, 有限回の計算によって整数解が決定できる.

Mordell 方程式

$k$ を $0$ でない整数とするとき, $x$, $y$ についての方程式 $$ y^{2} = x^{3} + k $$ は Mordell 方程式と呼ばれている.

[定理 (L. J. Mordell, 1922)] Mordell 方程式は高々有限個の整数解しかもたない.

Fermat 方程式

$n$ を正の整数とするとき, $x$, $y$, $z$ についての方程式 $$ x^{n} + y^{n} = z^{n} $$ は Fermat 方程式と呼ばれている.

$n=2$ のときのFermat 方程式の正整数解 $(x$, $y$, $z)$ は Pythagoras 数と呼ばれる. すべての整数解を求めるには $\gcd(x, y, z)=1$ かつ $y$ が偶数なる Pythagoras 数を決定すれば十分であり, それらは $$ x = m^{2}-n^{2},\quad y = 2mn,\quad z = m^{2}+n^{2} $$ とパラメータ表示される.

17 世紀の数学者 Fermat は, Diophantus の本のページの余白に, ある命題とともに「私は真に驚くべき証明を発見したが, この余白はそれを書くには狭すぎる」と書き残した. その命題は後に, Fermat 予想と呼ばれるようになった.

[Fermat 予想] $n\geq 3$ のとき, 方程式 $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ は $xyz\neq 0$ なる整数解をもたない.

Fermat 予想の一般の場合は, 1995 年に A. Wiles により証明された.

Catalan 方程式

$p$, $q$ をともに $1$ より大きい整数とするとき, $x$, $y$ についての方程式 $$ x^{p} - y^{q} = 1 $$ は Catalan 方程式と呼ばれている.

E. C. Catalan は 1844 年に次の命題を予想した.

[Catalan 予想] 方程式 $x^{p} - y^{q} = 1$ が正整数解をもつのは $(p, q, x, y) = (2, 3, 3, 2)$ のときに限る.

Catalan 予想の一般の場合は, 2002 年に P. Mihăilescu により証明された.

関連記事

Diophantus方程式 まとめ

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。