スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

二つのモニックなQ係数多項式の積がZ係数ならば各々がZ係数

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

[命題] $f(X)$, $g(X)\in\mathbb{Q}[X]$ とし, ともにモニック (すなわち, 最高次係数が $1$) であるとする. このとき, $$ f(X)g(X)\in\mathbb{Z}[X] \Longrightarrow f(X),\,g(X)\in\mathbb{Z}[X] $$ が成り立つ.

[証明] $f(X)g(X)\in\mathbb{Z}[X]$ と仮定する. そのとき, $m=\deg f$, $n=\deg g$ とし, \begin{align*} f(X) &= \sum_{i=0}^{m}a_{i}X^{i},\quad a_{i}\in\mathbb{Q}, \quad a_{m} = 1, \\ g(X) &= \sum_{j=0}^{n}b_{j}X^{j},\quad b_{j}\in\mathbb{Q}, \quad b_{n} = 1 \end{align*} とおくと, $$ f(X)g(X) = \sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)X^{k},\quad a_{m}b_{n} = 1 $$ と表され, 各 $k$ について $$ \sum_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i} \in\mathbb{Z} $$ が成り立つ. ただし, $i>m$ なるすべての番号 $i$ に対しては $a_{i}=0$ とし, $j>n$ なるすべての番号 $j$ に対しては $b_{j}=0$ とする.

正の整数 $l$ について, \begin{align*} l\cdot f(X)\in\mathbb{Z}[X] &\Longleftrightarrow \mbox{すべての番号 $i$ に対して, $la_{i}\in\mathbb{Z}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{$l$ は各係数 $a_{i}$ の既約分数表示の分母の公倍数} \end{align*} が成り立つ. $f(X)$ の各係数 $a_{i}$ を既約分数表示したときの分母の最小公倍数を $M$ とおく. すると, $M$ は $l\cdot f(X)\in\mathbb{Z}[X]$ を満たす正の整数 $l$ のうちで最小のものである. 同様に, $g(X)$ の各係数 $b_{j}$ を既約分数表示したときの分母の最小公倍数を $N$ とおく.

もし仮に $MN>1$ であるとすると, $MN$ は素因数 $p$ をもつ. そのとき, ある番号 $i$ が存在して, $p\nmid Ma_{i}$. 実際, $p\nmid M$ のときは, $p\nmid Ma_{m}$ である. $p\mid M$ のとき, もし仮にすべての番号 $i$ に対して $p\mid Ma_{i}$ であるとすれば, $(M/p)\cdot f(X)\in\mathbb{Z}[X]$ となり $M$ の最小性に反する. そこで, $p\nmid Ma_{i}$ なる番号 $i$ のうちで最小のものを $I$ とおく. 同様に, $p\nmid Nb_{j}$ なる番号 $j$ のうちで最小のものを $J$ とおく. すると, $MNa_{I}b_{J}\not\equiv 0\pmod{p}$. ところが, $MNf(X)g(X)$ の $X^{I+J}$ の係数に着目すると, \begin{align*} MNa_{I}b_{J} &\equiv \sum_{i=0}^{I+J}(Ma_{i})(Nb_{(I+J)-i}) \\ &= MN\sum_{i=0}^{I+J}a_{i}b_{(I+J)-i} \\ & \equiv 0 \pmod{p} \end{align*} となり, 矛盾が生じる. ゆえに, $MN=1$. したがって, $M=N=1$ となり, $f(X)$, $g(X)\in\mathbb{Z}[X]$ がいえる. (証明終)

[系] $f(X)\in\mathbb{Q}[X]$, $g(X)\in\mathbb{Z}[X]$ とし, ともにモニックであるとする. このとき, $\mathbb{Q}[X]$ において $f(X)\mid g(X)$ ならば, $f(X)\in\mathbb{Z}[X]$ かつ $\mathbb{Z}[X]$ において $f(X)\mid g(X)$ である.

[証明] $\mathbb{Q}[X]$ において $f(X)\mid g(X)$ であるとすると, ある $h(X)\in\mathbb{Q}[X]$ が存在して, $$ g(X) = f(X)h(X). $$ $f(X)$, $g(X)$ はともにモニックだから, $h(X)$ もモニックでなければならない. $g(X)\in\mathbb{Z}[X]$ であるから, 上の命題より, $f(X)$, $h(X)\in\mathbb{Z}[X]$. したがって, $\mathbb{Z}[X]$ において $f(X)\mid g(X)$ である. (証明終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。