nt+1の形の素数は無限に多く存在する

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[定理] $n$ を正の整数, $a$ を整数, $p$ を素数とする. このとき, $p\mid \varPhi_{n}(a)$ ならば, $p\equiv 1\pmod{n}$ または $p\mid n$ が成り立つ.

[証明] $p\mid\varPhi_{n}(a)$ と仮定する. $\mathbb{Z}[X]$ において $\varPhi_{n}(X)\mid X^{n}-1$ であるから, $\mathbb{Z}$ において $\varPhi_{n}(a)\mid a^{n}-1$. ゆえに, $p\mid a^{n}-1$. すなわち, $a^{n}\equiv 1\pmod{p}$. 法 $p$ に関する $a$ の位数を $e$ とする. $e$ は $n$ の約数である.

$e=n$ の場合. Fermat の小定理より $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ であり, $n$ は法 $p$ に関する $a$ の位数であるから, $n\mid p-1$. すなわち, $p\equiv 1\pmod{n}$.

$e<n$ の場合. $n=ef$ ($f>1$) とおく. まず, $$ X^{e(f-1)} + X^{e(f-2)} + \cdots + X^{e} + 1 = \frac{X^{n}-1}{X^{e}-1}. $$ $1$ の原始 $n$ 乗根は $1$ の $e$ 乗根でないから, 上の多項式の根である. よって, $\varPhi_{n}(X)$ は上の多項式を $\mathbb{Z}[X]$ において割る. すなわち, ある $h(X)\in\mathbb{Z}[X]$ が存在して, $$ X^{e(f-1)} + X^{e(f-2)} + \cdots + X^{e} + 1 = \varPhi_{n}(X)h(X). $$ $X$ に $a$ を代入し, $a^{e}\equiv 1\pmod{p}$ を用いれば, $$ f \equiv \varPhi_{n}(a)h(a) \equiv 0\pmod{p}. $$ ゆえに, $p\mid f$. したがって, $p\mid ef=n$. (証明終)

[定理] $n$ を正の整数とする. このとき, 素数 $p$ で $p\equiv 1\pmod{n}$ を満たすものが無限に多く存在する.

[証明] $n=1$ の場合は, 素数が無限に多く存在することと同値である. 以下, $n>1$ の場合を考える.

背理法により証明する. $p\equiv 1\pmod{n}$ を満たす素数 $p$ が有限個しかないと仮定する. そのようなすべての素数の積をとり, それを $n$ 倍したものを $N$ とおく. すなわち, $$ N = n\prod_{p\equiv 1\;(\mathrm{mod}\;n)}p. $$ $p\equiv 1\pmod{n}$ を満たす素数 $p$ が存在しなければ, $N=n$ とする. いずれにせよ, $N>1$ である (ここで $n>1$ を使用).

多項式 $\varPhi_{n}(X)\pm 1$ の根は有限個である. よって, 正の整数 $k$ を十分大きくとれば, $\varPhi_{n}(N^{k})\neq\pm 1$ となるようにできる. $\varPhi_{n}(N^{k})$ は $0$ でない整数である. ゆえに, $\varPhi_{n}(N^{k})$ の素因数 $q$ が存在する. $\mathbb{Z}[X]$ において $\varPhi_{n}(X)\mid X^{n}-1$ であるから, $\mathbb{Z}$ において $\varPhi_{n}(N^{k})\mid N^{kn}-1$. したがって, $q\mid N^{kn}-1$. すなわち, $N^{kn}\equiv 1\pmod{q}$. もし仮に $q\mid N$ とすれば $N^{kn}\equiv 0\pmod{q}$ となり矛盾が生じるから, $q\nmid N$ である. $N$ の定め方から, $q\not\equiv 1\pmod{n}$ かつ $q\nmid n$ でなければならない. ところが, これは前定理に反する. (証明終)

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