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円分多項式の公式

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$n$ を正の整数とする.

多項式 $X^{n}-1$ は, 次数が $n$ なので, $n$ 個の複素数根をもつ. $\zeta = e^{2\pi i/n}$ とおくと, $1$, $\zeta$, $\zeta^{2}$, $\ldots$, $\zeta^{n-1}$ が $X^{n}-1$ の相異なる $n$ 個の根になっている. したがって, 多項式 $X^{n}-1$ の根の全体は, ちょうど $1$ の $n$ 乗根全体 である.

円分多項式 $\varPhi_{n}(X)$ を次のように定義する. $$ \varPhi_{n}(X) = \prod_{\eta}(X-\eta)\;(\in\mathbb{C}[X]). $$ ここで, $\eta$ は $1$ の原始 $n$ 乗根全体を動く.

[定理] 任意の正の整数 $n$ に対して, $$ X^{n}-1 = \prod_{d\mid n}\varPhi_{d}(X). $$ が成り立つ (ただし, $d$ は正の整数の範囲を動くとする. 以下同様).

[証明] $\boldsymbol{\mu}_{n}$ を $1$ の $n$ 乗根全体からなる集合とする. また, $n$ の約数 $d$ に対して, $\boldsymbol{\nu}_{d}$ を $1$ の原始 $d$ 乗根全体からなる集合とする. このとき, $$ \boldsymbol{\mu}_{n} = \bigcup_{d\mid n}\boldsymbol{\nu}_{d}\quad (\mbox{集合の直和}) $$ であるから, \begin{align*} X^{n}-1 &= \prod_{\zeta\in\boldsymbol{\mu}_{n}}(X-\zeta) \\ &= \prod_{d\mid n}\,\prod_{\zeta\in\boldsymbol{\nu}_{d}}(X-\zeta) \\ &= \prod_{d\mid n}\varPhi_{d}(X) \end{align*} となる. (証明終)

[定理] $\mu(n)$ を Möbius の関数とする. 任意の正の整数 $n$ に対して, \begin{align*} \varPhi_{n}(X) &= \prod_{d\mid n}(X^{d}-1)^{\mu(n/d)} \\ &= \prod_{d\mid n}(X^{n/d}-1)^{\mu(d)} \end{align*} が成り立つ.

[証明] $n$ を正の整数とする. 前定理より, \begin{align*} \prod_{d\mid n}(X^{d}-1)^{\mu(n/d)} &= \prod_{d\mid n}\left(\prod_{d'\mid d}\varPhi_{d'}(X)\right)^{\mu(n/d)} \\ &= \prod_{d\mid n}\,\prod_{d'\mid d}\varPhi_{d'}(X)^{\mu(n/d)}. \end{align*} また, $\mathbb{Z}^{+}$ を正の整数全体からなる集合とするとき, \begin{align*} & \{ (d, d')\in(\mathbb{Z}^{+})^{2} \mid \mbox{$d$ は $n$ の約数かつ $d'$ は $d$ の約数}\} \\ & = \{ (n/d'', d')\in(\mathbb{Z}^{+})^{2} \mid \mbox{$d'$ は $n$ の約数かつ $d''$ は $a/d'$ の約数}\} \end{align*} が成り立つから, \begin{align*} \prod_{d\mid n}\,\prod_{d'\mid d}\varPhi_{d'}(X)^{\mu(n/d)} &= \prod_{d'\mid n}\,\prod_{d''\mid n/d'}\varPhi_{d'}(X)^{\mu(d'')} \\ &= \prod_{d'\mid n}F(d')^{\sum_{d''\mid n/d'}\mu(d'')}. \end{align*} さらに, $n$ のすべての約数 $d'$ に対して $$ \sum_{d''\mid n/d'}\mu(d'') = \begin{cases} 1, & \mbox{$n/d'=1$ のとき}, \\ 0, & \mbox{$n/d'>1$ のとき} \end{cases} $$ であるから, $$ \prod_{d'\mid n}\varPhi_{d'}(X)^{\sum_{d''\mid n/d'}\mu(d'')} = \prod_{d'=n}\varPhi_{d'}(X) = \varPhi_{n}(X). $$ ゆえに, $$ \prod_{d\mid n}(X^{d}-1)^{\mu(n/d)} = \varPhi_{n}(X). $$ すなわち, 一番目の等式が成り立つ. 二番目の等式は, 集合の等式 $$ \left\{ \frac{n}{d} \biggm| \mbox{$d$ は $n$ の約数} \right\} = \{ d \mid \mbox{$d$ は $n$ の約数} \} $$ より明らかである. (証明終)

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