円分多項式は整数係数多項式である

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正の整数 $n$ に対して, 円分多項式 $\varPhi_{n}(X)$ を次のように定義する. $$ \varPhi_{n}(X)=\prod_{\eta}(X-\eta)\in\mathbb{C}[X]. $$ ただし, $\eta$ は $1$ の原始 $n$ 乗根の全体を動く. $\varPhi_{n}(X)$ がモニック (すなわち, 最高次係数が $1$) であることは定め方から明らかである.

[定理] 任意の正の整数 $n$ に対して, $$ X^{n}-1 = \prod_{d\mid n}\varPhi_{d}(X). $$ が成り立つ (ただし, $d$ は正の整数の範囲を動くとする. 以下同様).

[証明] 関連記事を参照.

[補題] $\mathbb{C}[X]\cap\mathbb{Q}(X)=\mathbb{Q}[X]$.

[証明] 関連記事を参照.

[補題] $f(X)$, $g(X)\in\mathbb{Q}[X]$ とし, ともにモニック (すなわち, 最高次係数が $1$) であるとする. このとき, $$ f(X)g(X)\in\mathbb{Z}[X] \Longrightarrow f(X),\,g(X)\in\mathbb{Z}[X] $$ が成り立つ.

[補題] 関連記事を参照.

[定理] $n$ を正の整数とする. このとき, 円分多項式 $\varPhi_{n}(X)$ は $\mathbb{Z}$ 係数多項式である.

[証明] $n$ に関する数学的帰納法により証明する.

$\varPhi_{1}(X)=X-1$ であるから, $n=1$ のときは正しい.

$n$ より小さいときは正しいと仮定する. 上の定理より, $$ X^{n}-1 = \prod_{d\mid n}\varPhi_{d}(X) = \varPhi_{n}(X)\,\prod_{d\mid n,\,d\neq n}\varPhi_{d}(X). $$ 帰納法の仮定より, $$ \displaystyle\prod_{d\mid n,\,d\neq n}\varPhi_{d}(X)\in\mathbb{Z}[X]. $$ よって, $$ \varPhi_{n}(X) = \frac{X^{n}-1}{\prod_{d\mid n,\,d\neq n}\varPhi_{d}(X)}\in\mathbb{Q}(X). $$ $\varPhi_{n}(X)\in\mathbb{C}[X]$ であるから, 一つ目の補題より, $$ \varPhi_{n}(X)\in\mathbb{Q}(X)\cap\mathbb{C}[X] = \mathbb{Q}[X]. $$ ゆえに, 二つ目の補題より, $\varPhi_{n}(X)\in\mathbb{Z}[X]$. したがって, $n$ のときも正しい. (証明終)

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円分多項式の公式
多項式についての命題
二つのモニックなQ係数多項式の積がZ係数ならば各々がZ係数

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