円分多項式の帰納的計算法を与える公式

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

正の整数 $n$ に対して, $\varPhi_{n}(X)$ を円分多項式とする.

[定理] $p$ を素数, $n$ を正の整数とする. このとき, $$ \varPhi_{pn}(X) = \begin{cases} \varPhi_{n}(X^{p}), &\mbox{$p\mid n$ のとき}, \\ \displaystyle\frac{\varPhi_{n}(X^{p})}{\varPhi_{n}(X)}, &\mbox{$p\nmid n$ のとき}. \end{cases} $$ が成り立つ.

[証明] $\zeta$ を $1$ の $pn$ 乗根とする. $\varPhi_{pn}(X)$ は $\zeta$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式である. また, $\zeta^{p}$ は $1$ の原始 $n$ 乗根である. よって, $\zeta$ は $\varPhi_{n}(X^{p})$ の根である. ゆえに, $\varPhi_{pn}(X)\mid \varPhi_{n}(X^{p})$.

$p\mid n$ のとき. ある正の整数 $e$, $m$ が存在して, $$ n = p^{e}m,\quad \gcd(p, m) = 1 $$ と表せる. このとき, \begin{align*} \deg \varPhi_{pn}(X) &= \varphi(pn) = \varphi(p^{e+1}m) \\ &= \varphi(p^{e+1})\varphi(m) = (p^{e+1}-p^{e})\,\varphi(m) \\ &= p\,(p^{e}-p^{e-1})\,\varphi(m) = p\,\varphi(p^{e})\varphi(m) \\ &= p\,\varphi(p^{e}m) = p\,\varphi(n) \\ &= \deg \varPhi_{n}(X^{p}). \end{align*} このことと, 円分多項式がモニックであることから, $\varPhi_{pn}(X)=\varPhi_{n}(X^{p})$ が得られる.

$p\nmid n$ のとき. $\eta$ を $1$ の原始 $n$ 乗根とする. $\varPhi_{n}(X)$ は $\eta$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式である. $\gcd(p, n)=1$ より, $\eta^{p}$ は $1$ の原始 $n$ 乗根である. よって, $\eta$ は $\varPhi_{n}(X^{p})$ の根である. ゆえに, $\varPhi_{n}(X)\mid \varPhi_{n}(X^{p})$ である. $\varPhi_{pn}(X)$ と $\varPhi_{n}(X)$ とは共通根をもたないから, $\varPhi_{n}(X)\varPhi_{pn}(X)\mid \varPhi_{n}(X^{p})$. 次数を比較すると, \begin{align*} \deg\varPhi_{n}(X)\varPhi_{pn}(X) &= \deg\varPhi_{n}(X) + \deg\varPhi_{pn}(X) \\ &= \varphi(n) + \varphi(pn) = \varphi(n) + \varphi(p)\varphi(n) \\ &= (1 + \varphi(p))\varphi(n) = \left( 1 + (p-1) \right)\varphi(n) \\ &= p\,\varphi(n) = \deg\varPhi_{n}(X^{p}). \end{align*} このことと, 円分多項式がモニックであることから, $\varPhi_{n}(X)\varPhi_{pn}(X)=\varPhi_{n}(X^{p})$ が得られる. (証明終)

[別証] $\mu(n)$ を Möbius の関数とする. 任意の正の整数 $n$ に対して, $$ \varPhi_{n}(X) = \prod_{d\mid n}(X^{n/d}-1)^{\mu(d)} $$ が成り立つ. 以下, このことを用いて証明する.

$p\mid n$ のとき, \begin{align*} \varPhi_{pn}(X) &= \prod_{d\mid pn}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)} \\ &= \prod_{d\mid pn \atop d\mid n}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)}\prod_{d\mid pn \atop d\nmid n}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)}. \end{align*} $d\mid n$ ならば $d\mid pn$ であるから, $$ \prod_{d\mid pn \atop d\mid n}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)} = \prod_{d\mid n}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)} = \varPhi_{n}(X^{p}). $$ $d$ を正の整数とし, $d\mid pn$ かつ $d\nmid n$ とする. $p\mid n$ だから, ある正の整数 $e$, $m$ が存在して, $$ n = p^{e}m,\quad \gcd(p, m) = 1. $$ このとき, $pn = p^{e+1}m$ であるから, ある整数 $e'$ と正の整数 $m'$ が存在して, $$ d = p^{e'}m',\quad 0\leq e'\leq e+1,\quad m'\mid m. $$ もし仮に $e'<2$ であるとすると $d\mid n$ となり矛盾が生じるから, $e'\geq 2$ でなければならない. すなわち, $d$ は square-free でない. よって, $\mu(d)=0$. ゆえに, $$ \prod_{d\mid pn \atop d\nmid n}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)} = 1. $$ したがって, $\varPhi_{pn}(X) = \varPhi_{n}(X^{p})$ が得られる.

$p\nmid n$ のとき, \begin{align*} &\{ d \mid \mbox{$d$ は $pn$ を割る}\} \\ &\quad = \{ d \mid \mbox{$d$ は $n$ を割る} \} \cup \{ pd \mid \mbox{$d$ は $n$ を割る} \} \end{align*} のように集合の直和に分割されるから, \begin{align*} \varPhi_{pn}(X) &= \prod_{d\mid pn}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)} \\ &= \prod_{d\mid n}(X^{pn/d}-1)^{\mu(d)}\prod_{d\mid n}(X^{pn/pd}-1)^{\mu(pd)} \\ &= \varPhi_{n}(X^{p})\prod_{d\mid n}(X^{pn/pd}-1)^{\mu(pd)}. \end{align*} $p\nmid n$ より, $n$ のすべての正の約数 $d$ に対して $\mu(pd)=-\mu(d)$ が成り立つ. よって, \begin{align*} \prod_{d\mid n}(X^{pn/pd}-1)^{\mu(pd)} &= \prod_{d\mid n}(X^{n/d}-1)^{-\mu(d)} \\ &= \left(\prod_{d\mid n}(X^{n/d}-1)^{\mu(d)}\right)^{-1} \\ &= \frac{1}{\varPhi_{n}(X)}. \end{align*} ゆえに, 求める等式が得られる. (証明終)

[系] $p$ を素数, $n$, $e$ を正の整数とする. このとき, $$ \varPhi_{p^{e}n}(X) = \begin{cases} \varPhi_{n}(X^{p^{e}}), &\mbox{$p\mid n$ のとき}, \\ \displaystyle\frac{\varPhi_{n}(X^{p^{e}})}{\varPhi_{n}(X^{p^{e-1}})}, &\mbox{$p\nmid n$ のとき}. \end{cases} $$ が成り立つ.

[証明] 前定理の公式を用いて計算すると, \begin{align*} \varPhi_{p^{e}n}(X) &= \varPhi_{p^{e-1}n}(X^{p}) = \varPhi_{p^{e-2}n}(X^{p^{2}}) \\ &= \cdots\cdots \\ &= \varPhi_{pn}(X^{p^{e-1}}) \\ &= \begin{cases} \varPhi_{n}(X^{p^{e}}), &\mbox{$p\mid n$ のとき}, \\ \displaystyle\frac{\varPhi_{n}(X^{p^{e}})}{\varPhi_{n}(X^{p^{e-1}})}, &\mbox{$p\nmid n$ のとき}. \end{cases} \end{align*} となる. (証明終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示