円分多項式に整数を代入した値の素因数に関する命題

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正の整数 $n$ に対して, $\varPhi_{n}(X)$ を円分多項式とする.

[定理] $p$ を素数, $n$, $e$ を正の整数とする. このとき, $$ \varPhi_{p^{e}n}(X) = \begin{cases} \varPhi_{n}(X^{p^{e}}), &\mbox{$p\mid n$ のとき}, \\ \displaystyle\frac{\varPhi_{n}(X^{p^{e}})}{\varPhi_{n}(X^{p^{e-1}})}, &\mbox{$p\nmid n$ のとき}. \end{cases} $$ が成り立つ.

[証明] 関連記事を参照.

[命題] $n$ を正の整数, $p$ を素数とする. ある整数 $\alpha$, $m$ によって $$ n=p^{\alpha}m,\quad \alpha\geq 0,\quad \gcd(p, m)=1 $$ と表す. このとき, 任意の整数 $a$ に対して, $$ p\mid \varPhi_{n}(a) \Longrightarrow p\mid \varPhi_{m}(a) $$ が成り立つ.

[証明] $\alpha=0$ のときは明らかであるから, $\alpha>0$ とする.

$p\mid \varPhi_{n}(a)$ と仮定する. 上の定理より $$ \varPhi_{n}(X) = \frac{\varPhi_{m}(X^{p^{\alpha}})}{\varPhi_{m}(X^{p^{\alpha-1}})} $$ であるから, $$ \varPhi_{m}(a^{p^{\alpha}}) = \varPhi_{n}(a)\varPhi_{m}(a^{p^{\alpha-1}}) \equiv 0\pmod{p}. $$ 一方, $a^{p^{\alpha}}\equiv a\pmod{p}$ であるから, $$ \varPhi_{m}(a) \equiv \varPhi_{m}(a^{p^{\alpha}}) \equiv 0\pmod{p} $$ となる. (証明終)

[補題] $a$, $b$ を正の整数, $x$ を整数とする. このとき, $$ \gcd(x^{a}-1,\,x^{b}-1) = \lvert x^{\gcd(a,b)} - 1\rvert $$ が成り立つ.

[定理] $m$, $n$ を正の整数, $a$ を整数, $p$ を素数とし, $p\mid\varPhi_{m}(a)$ かつ $p\mid \varPhi_{n}(a)$ であるとする. このとき, ある整数 $k$ が存在して, $m/n = p^{k}$ となる.

[証明] $m=p^{\alpha}s$, $n=p^{\beta}t$, $\gcd(p, s)=\gcd(p, t)=1$ とおく. $s=t$ が成り立つことを背理法により証明する. $s<t$ と仮定する. $g=\gcd(s, t)$ とおくと, $g\mid t$ かつ $g\leq s<t$. そこで, $t=gf$ ($f>1$) とおく. すると, $$ X^{g(f-1)} + X^{g(f-2)} + \cdots + X^{g} + 1 = \frac{X^{t}-1}{X^{g}-1}. $$ $1$ の原始 $t$ 乗根は $1$ の $g$ 乗根でないから, 上の多項式の根である. よって, $\varPhi_{t}(X)$ は上の多項式を $\mathbb{Z}[X]$ において割る. すなわち, ある $h(X)\in\mathbb{Z}[X]$ が存在して, $$ X^{g(f-1)} + X^{g(f-2)} + \cdots + X^{g} + 1 = \varPhi_{t}(X)h(X). $$ $X$ に $a$ を代入すれば, $$ (a^{g})^{f-1} + (a^{g})^{f-2} + \cdots + a^{g} + 1 = \varPhi_{t}(a)h(a). $$ 一方, 上の命題より, $p\mid\varPhi_{s}(a)$ かつ $p\mid\varPhi_{t}(a)$. また, $\varPhi_{s}(a)\mid a^{s}-1$ かつ $\varPhi_{t}(a)\mid a^{t}-1$ であるから, $p\mid a^{s}-1$ かつ $p\mid a^{t}-1$. よって, $p\mid \gcd(a^{s}-1, a^{t}-1)$. 上の補題より, $p\mid a^{g}-1$. すなわち, $a^{g}\equiv 1\pmod{p}$. これを用いると, $$ f \equiv \varPhi_{t}(a)h(a)\equiv 0 \pmod{p}. $$ ゆえに, $p\mid f$. したがって, $p\mid ef=t$. これは $\gcd(p, t)=1$ に反する.

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