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Lucas擬素数

Lucas 擬素数について。

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Lucas 擬素数

Lucas 数列

$P$, $Q$ を $0$ でない整数とし, $2$ 次方程式 $X^{2}-PX+Q=0$ を考える. その判別式は $D=P^{2}-4Q$ であり, 方程式の解は $$ \alpha = \frac{P+\sqrt{D}}{2},\quad \beta = \frac{P-\sqrt{D}}{2} $$ である.

$D\neq 0$ と仮定する. 二つの数列 $(U_{n})$, $(V_{n})$ を次のように定義する. $n=0$, $1$, $2$, $\ldots$ に対して, $$ U_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta},\quad V_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}. $$ $(U_{n})$, $(V_{n})$ を, 整数の組 $(P, Q)$ に関する Lucas 数列という.

Lucas 擬素数

$P$, $Q$ を $0$ でない整数, $D=P^{2}-4Q\neq 0$ とし, $(U_{n})$, $(V_{n})$ を組 $(P,\,Q)$ に関する Lucas 数列とする.

正の奇数の合成数 $n$ が $(P,\,Q)$ に関する Lucas 擬素数であるとは, $\gcd(n, D)=1$ ならば $$ U_{n-(D/n)}\equiv 0\pmod{n} $$ が成り立つときにいう. ただし, $(D/n)$ は Jacobi 記号である.

$(P,\,Q)=(1,\,-1)$ に関する Lucas 擬素数のことを, Fibonacci 擬素数と呼ぶ.

一般の $(P,\,Q)$ に対して, 無限に多くの Lucas 擬素数が存在することが知られている (Erdös, Kiss, and Sárközy, 1988).

強 Lucas 擬素数

$P$, $Q$ を $0$ でない整数, $D=P^{2}-4Q\neq 0$ とし, $(U_{n})$, $(V_{n})$ を組 $(P,\,Q)$ に関する Lucas 数列とする.

$n$ を正の奇数の合成数で $\gcd(n, D)=1$ を満たすものとする. また, $(D/n)$ を Jacobi 記号とし, $n-(D/n)=2^{s}t$ ($s$ は正の整数, $t$ は正の奇数) とする. $n$ が $(P,\,Q)$ に関する強 Lucas 擬素数であるとは, $$ U_{t}\equiv 0\pmod{n} $$ が成り立つか, または, ある整数 $r$ が存在して, $0\leq r<s$ であり, $$ V_{2^{r}t}\equiv 0\pmod{n} $$ が成り立つときにいう.

参考文献

  • Ribenboim (著), 吾郷孝視 (訳): 素数の世界 その探索と発見, 共立出版, 1995.
  • Crandall (著), Pomerance (著), 和田秀男 (監訳): 素数全書 計算からのアプローチ, 朝倉書店, 2010.

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