数論的関数の例

数論的関数の例。

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数論的関数

正の整数全体を定義域とする複素数値関数のことを数論的関数 (あるいは, 整数論的関数) という.

数論的関数 $F(n)$ が乗法的であるとは, 任意の正の整数 $m$, $n$ に対して, $$ \gcd(m, n) = 1 \Longrightarrow F(mn) = F(m)F(n) $$ が成り立つときにいう.

記号上の注意として, $\displaystyle\sum_{d\mid n}$ は, $n$ の正の約数 $d$ 全体にわたって和をとることを意味する.

メビウス関数

正の整数 $n$ に対して, $$ \mu(n) = \begin{cases} 1, & \mbox{$n=1$ のとき}, \\ (-1)^{k}, & \mbox{$n$ が異なる $k$ 個の素数の積であるとき}, \\ 0, & \mbox{$n$ が平方因子をもつとき} \end{cases} $$ とおく. こうして定まる関数 $\mu(n)$ を Möbius 関数という.

[定理 (Möbius の反転公式)] $F(n)$ を数論的関数とし, $$ G(n) = \sum_{d\mid n}F(d) $$ とおく. このとき, $$ F(n) = \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)G(d) $$ が成り立つ.

オイラー関数

正の整数 $n$ に対して, $1$ から $n$ までの整数のうち $n$ と互いに素なものの個数を $\varphi(n)$ で表す. こうして定まる関数 $\varphi(n)$ を Euler 関数という.

Euler 関数は乗法的である.

約数の個数

正の整数 $n$ に対して, $n$ の約数の個数を $\tau(n)$ で表す. こうして定まる関数 $\tau(n)$ は数論的関数の一例である.

$\tau(n)$ は乗法的である.

約数の和

正の整数 $n$ に対して, $n$ の約数の和を $\sigma(n)$ で表す. こうして定まる関数 $\sigma(n)$ は数論的関数の一例である.

正の整数 $k$, $n$ に対して, $$ \sigma_{k}(n) = \sum_{d\mid n}d^{k} $$ とおく. こうして定まる関数 $\sigma_{k}(n)$ も数論的関数である. 特に, $\sigma_{1}(n)$ は約数の和 $\sigma(n)$ である.

任意の正の整数 $k$ に対して, $\sigma_{k}(n)$ は乗法的である.

ディリクレ積

数論的関数 $F$, $G$ に対して, それらの Dirichlet 積 $F*G$ を, 正の整数 $n$ に対して $$ (F*G)(n) = \sum_{d\mid n}F(d)G\left(\frac{n}{d}\right) $$ とおくことによって定める.

$F(1)\neq 0$ なる数論的関数 $F$ の全体は Dirichlet 積によって Abel 群になる. この群の単位元は, $$ e(n) = \begin{cases} 1, & \mbox{$n=1$ のとき}, \\ 0, & \mbox{それ以外のとき} \end{cases} $$ によって定まる関数 $e(n)$ である.

すべての $n$ に対して $\varepsilon(n)=1$ なる関数 $\varepsilon$ を考える. $\varepsilon$ は Möbius 関数 $\mu$ の Dirichlet 積による逆元である. したがって, 任意の数論的関数 $F$, $G$ に対して, $$ G = F * \varepsilon \Longrightarrow F = G * \mu $$ が成り立つ. これは Möbius の反転公式の Dirichlet 積を用いた言い換えである.

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