スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

Gauss和とJacobi和の定義

Gauss 和と Jacobi 和の定義。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

$G$ を有限 Abel 群とするとき, $G$ から $\mathbb{C}^{\times}$ への群の準同型写像を $G$ の指標という. 二つの指標 $\chi$, $\psi$ の積 $\chi\psi$ を $(\chi\psi)(x)=\chi(x)\psi(x)$ によって定義する. $\chi\psi$ もまた $G$ の指標になる. すべての $a\in G$ に対して $\varepsilon(a)=1$ とおくことで定まる指標 $\varepsilon$ を単位指標という. すると, $G$ の指標全体 $\widehat{G}$ は群をなす. $\widehat{G}$ を $G$ の指標群という.

$p$ を奇素数, $\mathbb{F}_{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を有限体, $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ を $\mathbb{F}_{p}$ の乗法群とする. $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ の指標 $\chi$ に対して, $$ \chi(0) = \begin{cases} 0, & \mbox{$\chi\neq\varepsilon$ のとき}, \\ 1, & \mbox{$\chi=\varepsilon$ のとき} \end{cases} $$ と定めて, $\chi$ を $\mathbb{F}_{p}$ に延長する.

$\zeta=\exp(2\pi i/p)$ とする. $x\in\mathbb{F}_{p}$ に対して, $x=x_{0}+p\mathbb{Z}$ ($x_{0}\in\mathbb{Z}$) と表すとき, $\zeta^{x}=\zeta^{x_{0}}$ と定める. $\zeta^{p}=1$ より, 任意の $x_{0}$, $x'_{0}\in\mathbb{Z}$ に対して $$ x_{0}\equiv x'_{0}\;(\mathrm{mod}\;p) \Longrightarrow \zeta^{x_{0}}=\zeta^{x'_{0}} $$ であるから, $\zeta^{x}$ は well-defined である.

$a\in\mathbb{F}_{p}$ とするとき, $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ の指標 $\chi$ に対して, $$ \tau_{a}(\chi) = \sum_{x\in\mathbb{F}_{p}}\chi(x)\zeta^{ax} $$ とおく. $\tau_{a}(\chi)$ を $\chi$ に関する Gauss 和という. 特に, $\tau_{1}(\chi)$ は単に $\tau(\chi)$ と書かれることが多い.

$\chi$, $\psi$ を $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ の指標とする. このとき, $$ J(\chi, \psi) = \sum_{x\in\mathbb{F}_{p}}\chi(x)\psi(1-x) $$ を $\chi$, $\psi$ に関する Jacobi 和という.

$\chi\neq\varepsilon$, $\psi\neq\varepsilon$, $\chi\psi\neq\varepsilon$ ならば, $$ J(\chi, \psi) = \frac{\tau(\chi)\tau(\psi)}{\tau(\chi\psi)} $$ が成り立つ.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。