s=1のときのオイラー積は無限大に発散する

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整数 $n\geq 1$ に対して, $p_{n}$ を小さい方から数えて $n$ 番目の素数とする. 例えば, $p_{1}=2$, $p_{2}=3$, $p_{3}=5$, $\ldots$ である. こうして, 素数の列 $(p_{n})$ が定まる.

[定理] $\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left( 1-\frac{1}{p_{n}} \right)^{-1}=\infty$.

[証明] $N\geq 1$ を任意の整数とする. すべての正の整数 $n$ ($\leq N$) は, 素数 $p$ ($\leq n\leq N$) の冪積で表され, 各 $p$ の指数は $\log_{p}n$ ($\leq \log_{p}N$) 以下であるから, \begin{align*} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n} &\leq \prod_{p\leq N}\left( \sum_{k=1}^{\lfloor\log_{p}N\rfloor}\frac{1}{p^{k}} \right) \\ &\leq \prod_{p\leq N}\left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{p^{k}} \right) \\ &=\prod_{p\leq N}\left( 1-\frac{1}{p} \right)^{-1}. \end{align*} $N\to\infty$ のとき, $\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\to\infty$ であるから, $\displaystyle\prod_{p\leq N}\left( 1-\frac{1}{p} \right)^{-1}\to\infty$ となる. したがって, \begin{align*} \prod_{n=1}^{\infty}\left( 1-\frac{1}{p_{n}} \right)^{-1} &= \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^{N}\left( 1-\frac{1}{p_{n}} \right)^{-1} \\ &= \lim_{N\to\infty}\prod_{p\leq p_{N}}\left( 1-\frac{1}{p} \right)^{-1} = \infty \end{align*} となる. (証明終)

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