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多項式の問題

整域でない可換環上の多項式環の単元は必ずしも定数とは限らない例。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

[問題] $R$ を可換環, $R[X]$ を $R$ 上の $1$ 変数多項式環, $a\in R$ とする. このとき, 多項式 $1-aX$ が $R[X]$ の単元であるためには, $a$ が $R$ の冪零元であることが必要十分であることを示せ.

[解答例] $1-aX$ が $R[X]$ の単元であると仮定すると, ある $g(X)\in R[X]$ が存在して, $$ (1-aX)g(X) = 1. $$ このとき, 明らかに $g(X)\neq 0$ である. そこで, \begin{align*} &g(X) = b_{0}+b_{1}X+\cdots+b_{n}X^{n}, \\ &b_{i}\in R\;(0\leq i\leq n),\quad b_{n}\neq 0,\quad n\geq 0 \end{align*} とおくと, $$ b_{0} + (b_{1}-ab_{0}) X + \cdots + (b_{n}-ab_{n-1}) X^{n} - ab_{n}X^{n+1} = 1. $$ 係数を比較すると, $$ b_{0} = 1,\quad b_{i}-ab_{i-1} = 0\;(1\leq i\leq n),\quad ab_{n} = 0. $$ これより, $b_{i}=a^{i}$ ($0\leq i\leq n$) および $a^{n+1}=0$ が得られる. ゆえに, $a$ は冪零元である.

逆に, $a$ が冪零元であると仮定すると, ある正の整数 $n$ が存在して $a^{n}=0$ であるから, $$ (1-aX)(1+aX+\cdots+a^{n-1}X^{n-1}) = 1 - a^{n}X^{n} = 1. $$ ゆえに, $1-aX$ は $R[X]$ の単元である. (解答終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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