オイラー関数についての自明な不等式

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$\phi(n)$ を Euler 関数とする.

[命題] 任意の整数 $n\geq 2$ に対して, $$ 1 + \frac{1}{n-1} \leq \frac{n}{\phi(n)} $$ が成り立つ.

[証明] $n\geq 2$ を整数とする. まず, $$ 1 + \frac{1}{n-1} = \frac{n}{n-1}. $$ $n$ が素数のとき, $\phi(n)=n-1$ であるから, $$ \frac{n}{n-1} = \frac{n}{\phi(n)}. $$ $n$ が合成数のとき, $\phi(n)<n-1$ であるから, $$ \frac{n}{n-1} < \frac{n}{\phi(n)}. $$ したがって, 求める不等式が得られる. (証明終)

[系] $\displaystyle \liminf_{n\to\infty} \frac{n}{\phi(n)} = 1$.

[証明] 各整数 $n\geq 1$ に対し, $a_{n} = n/\phi(n)$ とおく. 任意の素数 $p$ に対して $$ a_{p} = \frac{p}{\phi(p)} = \displaystyle 1 + \frac{1}{p-1} $$ が成り立つから, 数列 $(a_{n})$ の部分列 $(a_{p})$ は $p\to\infty$ のとき $1$ に収束する. 一方, $(a_{n})$ の任意の部分列 $(a_{n(k)})$ について, もしこれが極限を持つならば, 前命題の不等式より, $$ \lim_{k\to\infty}a_{n(k)} \geq \lim_{k\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n(k)-1} \right) = 1. $$ したがって, $(a_{n})$ の部分列の極限のうち最小のものは $1$ である. (証明終)

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