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体上の多項式環の最大公約元について

体上の多項式環の最大公約元は, どの係数体で考えても同じである。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

[補題] $R$ を可換環とし, $S$ を $R$ の部分環とする. このとき, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}\in S$ によって生成される $R$ のイデアル $$ (a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{R} = a_{1}R + a_{2}R + \cdots + a_{n}R $$ は, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ によって生成される $S$ のイデアル $$ (a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{S} = a_{1}S + a_{2}S + \cdots + a_{n}S $$ を含む $R$ のイデアルのうちで最小のものである.

[証明] $(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{R}$ が $(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{S}$ を含むことは明らかである. $R$ の任意のイデアル $I$ に対して, \begin{align*} (a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{S}\subseteq I & \Longrightarrow a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\in I \\ & \Longrightarrow (a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{R}\subseteq I. \end{align*} したがって, $(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{R}$ は $(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})_{S}$ を含む $R$ のイデアルうちで最小のものである. (証明終)

[定理] $F$ を体, $K$ を $F$ の拡大体とし, $F[X]$, $K[X]$ をそれぞれ $F$, $K$ 上の $1$ 変数多項式環とする. また, $f(X)$, $g(X)$, $d(X)\in F[X]$ とする. このとき, $d(X)$ が $F[X]$ において $f(X)$, $g(X)$ の最大公約元であることと, $K[X]$ において最大公約元であることは同値である.

[証明] 補題より, $K[X]$ のイデアル $(d(X))_{K}$ は $F[X]$ のイデアル $(d(X))_{F}$ を含む $K[X]$ のイデアルのうちで最小のものである. 同様に, $K[X]$ のイデアル $(f(X), g(X))_{K}$ は $F[X]$ のイデアル $(f(X), g(X))_{F}$ を含む $K[X]$ のイデアルのうちで最小のものである.

$d(X)$ が $F[X]$ における $f(X)$, $g(X)$ の最大公約元であると仮定すると, $$ (d(X))_{F} = (f(X), g(X))_{F}. $$ このとき, $(f(X), g(X))_{F}\subseteq (d(X))_{K}$ であるから, $(f(X), g(X))_{K}\subseteq (d(X))_{K}$. 同様に, $(d(X))_{F} \subseteq (f(X), g(X))_{K}$ であるから, $(d(X))_{K}\subseteq (f(X),g(X))_{K}$. ゆえに, $(d(X))_{K} = (f(X), g(X))_{K}$. したがって, $d(X)$ は $K[X]$ における $f(X)$, $g(X)$ の最大公約元である.

逆に, $d(X)$ が $K[X]$ における $f(X)$, $g(X)$ の最大公約元であると仮定すると, $$ (d(X))_{K} = (f(X), g(X))_{K}. $$ $f(X)$, $g(X)$ の $F[X]$ における最大公約元 $d_{1}(X)$ をとると, 先に証明したことから, $$ (d_{1}(X))_{K} = (f(X), g(X))_{K}. $$ ゆえに, $(d(X))_{K}=(d_{1}(X))_{K}$. すなわち, ある単元 $\varepsilon\in K[X]^{\times}=K^{\times}$ が存在して, $d(X)=\varepsilon d_{1}(X)$. ところが, $d(X)\neq 0$ ならば, 最高次係数を比較すれば $\varepsilon\in F^{\times}$ がいえる. $d(X)=0$ ならば, $d_{1}(X)=0$ となり, $d(X)=d_{1}(X)$ である. したがって, $d(X)$ もまた $F[X]$ における $f(X)$, $g(X)$ の最大公約元である. (証明終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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