不等式についての命題

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[命題] $s$ を実数とし, $0<s<e$ を満たすとする. このとき, 任意の実数 $x>0$ に対して, $\log x^{s} < x$ が成り立つ.

[証明] $x>0$ とする. $f(x) = x - \log x^{s} = x - s\log x$ とおく. これを微分すると, $$ f'(x) = 1 - \frac{s}{x}. $$ さらに微分すると, $$ f''(x) = \frac{s}{x^{2}} > 0. $$ $f'(x)=0$ となるのは $x=s$ のときだけである. ゆえに, $x=s$ で $f(x)$ は最小になり, 最小値は $$ f(s) = s(1 - \log s) > s(1 - \log e) = 0. $$ したがって, $x>0$ では常に $f(x)>0$ となる. (証明終)

[命題] $\delta$ を実数とし, $0<\delta<1$ を満たすとする. このとき, 任意の実数 $x\geq e^{1/\delta^{2}}$ に対して, $$ 1< \log x < x^{\delta} $$ が成り立つ.

[証明] $x\geq e^{1/\delta^{2}}$ とする. $1/\delta^{2}>1$ より $x>e$ であるから, $\log x > 1$.

$\alpha=e^{1/\delta^{2}}$ とおく. 前命題 ($s=2$ の場合) より, $$ \frac{\log\alpha}{\log(\log\alpha)} =\frac{1/\delta^{2}}{\log(1/\delta^{2})} > \frac{1}{\delta}. $$ よって, $$ \log\alpha^{\delta} = \delta\log\alpha > \log(\log\alpha). $$ ゆえに, $$ f(\alpha) = \alpha^{\delta} - \log\alpha > 0. $$ 一方, $f(x)$ を微分すると, $$ f'(x) = \frac{\delta x^{\delta}-1}{x}. $$ また, $x>0$ のとき, $$ x^{\delta}\geq \frac{1}{\delta} \Longrightarrow \delta x^{\delta}\geq 1 \Longrightarrow f'(x)>0. $$ さらに, 任意の $x>0$ に対して $e^{x}>x$ が成り立つから, $$ \alpha^{\delta} = e^{1/\delta} > \frac{1}{\delta}. $$ したがって, $x\geq \alpha$ では常に $f(x)>0$ となる. (証明終)

[系] $\delta$ を実数とし, $0<\delta<1$ を満たすとする. このとき, 任意の実数 $x\geq e^{1/\delta^{2}}$ に対して, $$ x^{1-\delta} < \frac{x}{\log x} $$ が成り立つ.

[証明] $x\geq e^{1/\delta^{2}}$ とする. 前命題より $$ 1 < \log x < x^{\delta} $$ であるから, $$ x^{1-\delta} = \frac{x}{x^{\delta}} < \frac{x}{\log x} $$ となる.

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