スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

Fermat予想の多項式類似

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

[定理] $K$ を標数 $0$ の体, $K[t]$ を多項式環, $n\geq 3$ を整数とする. このとき, 多項式 $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)\in K[t]$ が方程式 $$ X^{n} + Y^{n} = Z^{n} $$ の解ならば, ある定数 $a$, $b$, $c\in K$ とある多項式 $W(t)\in K[t]$ が存在して $$ X(t)=aW(t),\quad Y(t)=bW(t),\quad Z(t)=cW(t) $$ が成り立つ.

[証明] $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)\in K[t]$ とし, $X(t)^{n} + Y(t)^{n} = Z(t)^{n}$ を満たすとする.

まず, $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)$ が互いに素である場合を考える.

もし仮に $\deg(XYZ)\geq 1$ であるとすると, $A=X^{n}$, $B=Y^{n}$, $C=Z^{n}$ として Stothers-Mason の ABC 定理を適用することができて, \begin{align*} &\mathrm{max}\{ \deg X^{n},\,\deg Y^{n},\,\deg Z^{n} \} \\ &\quad < N_{0}(X^{n}Y^{n}Z^{n}) = N_{0}(XYZ) \leq \deg(XYZ). \end{align*} よって, $$ n\deg X = \deg X^{n} < \deg(XYZ). $$ $Y$, $Z$ についても同様の不等式が成り立つ. それらを辺々加えると, $$ n\deg(XYZ) = n(\deg X+\deg Y+\deg Z) < 3\deg(XYZ). $$ 移項すると, $$ (n-3)\deg(XYZ) < 0. $$ $\deg(XYZ)\geq 1$ であるから, $n-3<0$. これは $n\geq 3$ であることに反する.

$\deg(XYZ)<1$ ならば, $X(t)Y(t)Z(t) = 0$ または $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)\in K$ である. 前者の場合, もし $X(t)=0$ ならば, $Y(t)^{n}=Z(t)^{n}$ である. このとき, $Y(t)$, $Z(t)$ がともに定数でなければ, $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)$ が互いに素であることに反する. 他の場合も同様である. 結局, $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)$ はすべて定数である.

次に, $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)$ が必ずしも互いに素とは限らない場合を考える. $X(t)$, $Y(t)$, $Z(t)$ の最大公約元を $W(t)$ おく. すると, $X(t)/W(t)$, $Y(t)/W(t)$, $Z(t)/W(t)$ は互いに素な解である. よって, それらはすべて定数である. それらを $a$, $b$, $c$ とおけば, $X(t)=aW(t)$, $Y(t)=bW(t)$, $Z(t)=cW(t)$ が成り立つ. (証明終)

関連記事

Stothers-MasonのABC定理

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。