Catalan予想の多項式類似

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[定理] $K$ を標数 $0$ の体, $K[t]$ を多項式環とし, $m$, $n$ を $2$ 以上の整数とする. このとき, $X(t)$, $Y(t)\in K[t]$ が方程式 $$ X^{m} - Y^{n} = 1 $$ の解ならば, $X(t)$, $Y(t)\in K$ である.

[証明] $X(t)$, $Y(t)\in K[t]$ とし, $X(t)^{m} - Y(t)^{n} = 1$ を満たすとする. この等式より, $X(t)$, $Y(t)$ は必然的に互いに素になる.

もし仮に $\deg(XY)\geq 1$ であるとすると, $A=1$ $B=-X^{m}$, $C=Y^{n}$ として Stothers-Mason の ABC 定理を適用することができて, \begin{align*} &\mathrm{max}\{ \deg 1,\,\deg X^{m},\,\deg Y^{n} \} \\ &\quad < N_{0}(X^{m}Y^{n}) = N_{0}(XY) \leq \deg(XY). \end{align*} よって, \begin{align*} m\deg X &= \deg X^{m} < \deg(XY), \\ n\deg Y &= \deg Y^{n} < \deg(XY). \end{align*} $1$ 番目の式を $n$ 倍, $2$ 番目の式を $m$ 倍し, 辺々加えると, $$ mn\deg(XY) = mn(\deg X+\deg Y) < (m+n)\deg(XY). $$ 移項すると, $$ (mn-m-n)\deg(XY) < 0. $$ $\deg(XY)\geq 1$ であるから, $mn-m-n<0$. ところが, $m\geq 2$, $n\geq 2$ より, $$ mn - m - n = (m-1)(n-1)-1\geq 0. $$ これは矛盾である.

$\deg(XY)<1$ ならば, $X(t)Y(t) = 0$ または $X(t)$, $Y(t)\in K$ である. 前者の場合, もし $X(t)=0$ ならば, $X(t)$, $Y(t)$ は互いに素だから, $Y(t)\in K$ でなければならない. 同様に, $Y(t)=0$ ならば $X(t)\in K$. 結局, $X(t)$, $Y(t)$ はともに定数である. (証明終)

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