推論規則

数学の証明は、いくつかの命題を推論規則に従って繋げた文章です。推論規則は、数学で用いられる「論法」を明文化したものです。以下、推論規則を列挙します。

推論規則

A、B、C を命題とする。また、¬ A を命題 A の否定とする。s, t を数学的対象とする。

「A ならば B」に関する推論規則

  • A が成り立つ。また、「A ならば B」が成り立つ。ゆえに、B が成り立つ。(三段論法:modus ponens)
  • A を仮定すると、B が成り立つ。ゆえに、「A ならば B」が成り立つ。

「A かつ B」に関する推論規則

  • A が成り立つ。また、B が成り立つ。ゆえに、「A かつ B」が成り立つ。
  • 「A かつ B」が成り立つ。ゆえに、A が成り立つ。
  • 「A かつ B」が成り立つ。ゆえに、B が成り立つ。

「A または B」に関する推論規則

  • A が成り立つ。ゆえに、「A または B」が成り立つ。
  • B が成り立つ。ゆえに、「A または B」が成り立つ。
  • 「A または B」が成り立つ。また、A を仮定すると、C が成り立つ。さらに、B を仮定すると、C が成り立つ。ゆえに、C が成り立つ。
  • 「A または B」が成り立つ。また、¬A が成り立つ。ゆえに、B が成り立つ。
  • 「A または ¬A」が成り立つ。(排中律)

矛盾に関する推論規則

  • A を仮定すると、矛盾が生じる。ゆえに、¬A が成り立つ。(背理法)
  • ¬A を仮定すると、矛盾が生じる。ゆえに、A が成り立つ。(背理法)
  • A が成り立つ。また、¬A が成り立つ。ゆえに、矛盾が生じる。
  • 矛盾が生じるとき、あらゆる命題が成り立つ。

「任意の~に対して」に関する推論規則

  • 数学的対象 a を任意にとると、A(a) が成り立つ。ゆえに、任意の x に対して A(x) が成り立つ。
  • 任意の x に対して A(x) が成り立つ。ゆえに、A(t) が成り立つ。

「ある~が存在して」に関する推論規則

  • A(t) が成り立つ。ゆえに、ある x が存在して A(x) が成り立つ。
  • ある x が存在して A(x) が成り立つ。数学的対象 a を任意にとる。A(a) を仮定すると、C が成り立つ。ゆえに、C が成り立つ。

等号に関する推論規則

  • s=s が成り立つ。
  • s=t が成り立つ。また、A(s) が成り立つ。ゆえに、A(t) が成り立つ。

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定義・定理・証明

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