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スチルチェス積分の計算例

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[問題] Stieltjes 積分 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,d(\sin x)$ を計算せよ.

[解答例] 閉区間 $[0, \pi/2]$ において, 関数 $\cos x$ は有界であり, 関数 $\sin x$ は $C^{1}$ 級なので, \begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,d(\sin x) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\cdot (\sin x)'\,dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}x\,dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx \\ &= \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\!\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} \end{align*} となる. (解答終)

[問題] $a$, $b$ を負でない整数で $a\leq b$ とし, $\lfloor x\rfloor$ を床関数とするとき, Stieltjes 積分 $\displaystyle\int_{a}^{b}\cos x\,d\lfloor x\rfloor$ を計算せよ.

[解答例] 閉区間 $[0, b]$ において, $$ \lfloor x\rfloor = \sum_{0<n\leq b} 1 $$ である. ここで, 右辺の和は $0<n\leq b$ なる整数 $n$ 全体をわたる. このとき, \begin{align*} \int_{0}^{b}\cos x\,d\lfloor x\rfloor &= \sum_{0<n\leq b}\cos n\cdot 1 \\ &= \sum_{0<n\leq b}\cos n. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} \int_{a}^{b}\cos x\,d\lfloor x\rfloor &= \int_{0}^{b}\cos x\,d\lfloor x\rfloor - \int_{0}^{a}\cos x\,d\lfloor x\rfloor \\ &= \sum_{0<n\leq b}\cos n - \sum_{0<n\leq a}\cos n \\ &= \sum_{a+1\leq n\leq b}\cos n \end{align*} となる. (解答終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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