組み紐群の代数的な定義

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組み紐群

$n\geq 1$ を整数とする. $B_{n}$ は $n-1$ 個の元 $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\ldots$, $\sigma_{n-1}$ によって生成される群であって, それらの生成元は次の基本関係を満たすものとする. \begin{alignat*}{2} \sigma_{i}\sigma_{j} &= \sigma_{j}\sigma_{i} && \quad \bigl(\lvert i-j\rvert\geq 2\bigr), \\ \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i} &= \sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1} &&\quad \bigl(1\leq i\leq n-2\bigr). \end{alignat*} このとき, $B_{n}$ を $n$ 次組み紐群 (braid group) という.

定義より, $B_{1}=\{1\}$ は自明な群である. また, $B_{2}$ は $\sigma_{1}$ を生成元とする無限巡回群である.

$\iota_{n}(\sigma_{i})=\sigma_{i}$ ($1\leq i\leq n-1$) とおくことにより, 包含写像 $\iota_{n}: B_{n}\rightarrow B_{n+1}$ が定まる.

$S_{n}$ を $n$ 次対称群とする. $i=1$, $2$, $\ldots$, $n-1$ に対して, $s_{i}\in S_{n}$ を $i$ と $i+1$ の互換とする. このとき, $s_{i}=\pi(\sigma_{i})$ ($1\leq i\leq n-1$) を満たすような準同型 $\pi_{n}:B_{n}\rightarrow S_{n}$ が一意的に存在する. $S_{n}$ が $s_{i}$ ($1\leq i\leq n-1$) で生成されることから, $\pi_{n}$ の全射性がいえる.

$n\geq 3$ のとき, $S_{n}$ が Abel 群でないことと全射準同型 $\pi_{n}:B_{n}\rightarrow S_{n}$ が存在することにより, $B_{n}$ は Abel 群でないことがわかる.

$\pi_{n}$ の核 $\mathrm{ker}\;\pi_{n}$ を $n$ 次純組み紐群 (pure braid group) という.

$i_{n}:S_{n}\rightarrow S_{n+1}$ を自然な包含写像とすれば, $$ \pi_{n+1}\circ \iota_{n} = i_{n}\circ \pi_{n} $$ が成り立つ.

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