ガンマ関数の定積分の計算への応用

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$\Gamma(s)$ を Gamma 関数とし, $B(p, q)$ を Beta 関数とする. まず, Beta 関数について, $$ B(p, q) = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\,d\theta\quad (p>0,\,q>0) $$ の成り立つことが知られている. $a=2p-1$, $b=2q-1$ とおけば, $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{a}\theta\cos^{b}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}B\left(\frac{a+1}{2},\,\frac{b+1}{2}\right)\quad (a>-1,\,b>-1). $$ また, Gamma 関数と Beta 関数との間には, 関係式 $$ B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\quad (p>0,\,q>0) $$ が成り立つ. さらに, Gamma 関数について, \begin{align*} & \Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\quad (s>0), \\ & \Gamma(1) = 1,\quad \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. \end{align*} 特に, 任意の整数 $n\geq 1$ に対して, $\Gamma(n)=(n-1)!$ が成り立つ.

これらの性質を利用して, 以下の定積分を計算する.

[問題] 定積分 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}\theta\,d\theta$ を計算せよ.

[解答例] $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2},\,\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(1/2)}{\Gamma(3)}. $$ 一方, \begin{align*} &\Gamma(3) = 2! = 2, \quad \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}, \\ &\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}. \end{align*} ゆえに, $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}\theta\,d\theta = \frac{3}{16}\pi $$ となる. (解答終)

[問題] 定積分 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}\theta\cos^{3}\theta\,d\theta$ を計算せよ.

[解答例] $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}\theta\cos^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2},\,\frac{4}{2}\right) = \frac{1}{2}\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(2)}{\Gamma(9/2)}. $$ 一方, \begin{align*} &\Gamma(2) = 1! = 1, \\ &\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}, \\ &\Gamma\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{7}{7}\right) = \frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}. \end{align*} ゆえに, $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}\theta\cos^{3}\theta\,d\theta = \frac{2}{35} $$ となる. (解答終)

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