メビウスの反転公式の類似 (3)

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[定理] $F(x)$ を実数の区間 $(0, \infty)$ で定義された複素数値関数とする. 各々の実数 $x$ に対して, ある整数 $N(x)>0$ が存在して, すべての整数 $n\geq N(x)$ に対して $F(x/n)=0$ であるとする. $$ G(x) = \sum_{n=1}^{\infty}F\left(\frac{x}{n}\right) $$ とおく. 先に述べた条件より, 右辺の級数は各 $x$ に対して有限和である. このとき, $$ F(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)G\left(\frac{x}{n}\right) $$ が成り立つ. ただし, $\mu(n)$ は Möbius 関数である.

[証明] $x> 0$ を実数とする. このとき, \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)G\left(\frac{x}{n}\right) &= \sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)\sum_{m=1}^{\infty}F\left(\frac{x}{mn}\right) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\mu(n)F\left(\frac{x}{mn}\right). \end{align*} また, $\mathbb{Z}^{+}$ を正の整数全体からなる集合とするとき, \begin{align*} & \{ (n, mn)\in(\mathbb{Z}^{+})^{2} \mid \mbox{$m$, $n\in\mathbb{Z}^{+}$}\} \\ & = \{ (n, l)\in(\mathbb{Z}^{+})^{2} \mid \mbox{$l\in\mathbb{Z}^{+}$ かつ $n$ は $l$ の約数}\} \end{align*} が成り立つから, \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\mu(n)F\left(\frac{x}{mn}\right) &= \sum_{l=1}^{\infty}\sum_{n\mid l}\mu(n)F\left(\frac{x}{l}\right) \\ &= \sum_{l=1}^{\infty}F\left(\frac{x}{l}\right)\sum_{n \mid l}\mu\left(n\right). \end{align*} さらに, $$ \sum_{n \mid l}\mu(n) = \begin{cases} 1, & \mbox{$l=1$ のとき}, \\ 0, & \mbox{$l>1$ のとき} \end{cases} $$ であるから, $$ \sum_{l=1}^{\infty}F\left(\frac{x}{l}\right)\sum_{n \mid l}\mu\left(n\right) = \sum_{l=1}F\left(\frac{x}{l}\right)\cdot 1 = F(x). $$ 以上より, $$ \sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)G\left(\frac{x}{n}\right) = F(x) $$ が成り立つ. (証明終)

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