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代数関数体の定義

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代数関数体の定義 (1 変数の場合)

$K$, $k$ を体とし, $K$ は $k$ の拡大体であるとする.

$K$ の元 $\alpha$ が $k$ 上代数的であるとは, ある $0$ でない多項式 $f(X)\in k[X]$ が存在して, $\alpha$ が $f(X)$ の根であるとき, すなわち $f(\alpha)=0$ であるときにいう.

$K$ の元 $\alpha$ が $k$ 上超越的であるとは, $\alpha$ が $k$ 上代数的でないとき, すなわち, 任意の $0$ でない多項式 $f(X)\in k[X]$ に対して $f(\alpha)\neq 0$ となるときにいう.

体の拡大 $K/k$ が代数的であるとは, $K$ のすべての元が $k$ 上代数的であるときにいう. またこのとき, $K/k$ を代数拡大といい, $K$ を $k$ の代数拡大体という. 例えば, 有限次拡大は代数拡大である.

体の拡大 $K/k$ が超越的であるとは, $K/k$ が代数的でないときにいう. またこのとき, $K/k$ を超越拡大といい, $K$ を $k$ の超越拡大体という.

$K$ が $k$ 上の ($1$ 変数) 有理関数体であるとは, ある $k$ 上超越的な $K$ の元 $x$ が存在して, $K=k(x)$ が成り立つときにいう. $k(x)$ は $k$ の超越拡大体である.

$K$ が $k$ 上の ($1$ 変数) 代数関数体であるとは, ある $k$ 上超越的な $K$ の元 $x$ が存在して, $K$ が $k(x)$ の有限次拡大体になるときにいう. 特に, 有理関数体は代数関数体である. それ以外の例として, 楕円関数体と呼ばれるものがある.

なお, 便宜上の理由により, 代数関数体の定義において, $k$ が $K$ の中で代数的に閉じていること, すなわち, $k$ 上代数的な $K$ の元がすべて $k$ に含まれるという仮定が設けられることがある. $k$ が代数的閉体ならば, この条件は最初から満たされている.

代数関数体の定義 (多変数の場合)

$K$, $k$ を体とし, $K$ は $k$ の拡大体であるとする.

$K$ の元 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\ldots$, $\alpha_{r}$ が $k$ 上代数的独立であるとは, 任意の $0$ でない多項式 $f(X_{1},\,X_{2},\,\ldots,\,X_{r})\in k[X_{1},\,X_{2},\,\ldots,\,X_{r}]$ に対して $f(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\ldots,\,\alpha_{r})\neq 0$ となるときにいう. そうでないとき, $k$ 上代数的従属であるという.

$r=1$ のとき, $K$ の元 $\alpha$ が $k$ 上代数的独立であること $k$ 上超越的であることは同じ意味であり, $k$ 上代数的従属であることと $k$ 上代数的であることは同じ意味である.

$K$ の部分集合 $B$ が $k$ 上代数的独立であるとは, $B$ の任意の有限個の元が $k$ 上代数的独立であるときにいう.

$K$ の部分集合 $B$ が $K$ の $k$ 上の超越基底であるとは, $B$ が $k$ 上代数的独立であって, さらに $K$ が $k(B)$ の代数拡大体であるときにいう. 特に, $K=k(B)$ であるとき, $K$ は $k$ の純超越拡大であるという.

$K$ が $k$ の拡大体であるとき, その $k$ 上の超越基底 $B$ は必ず存在し, $B$ の集合としての濃度 (元の個数) は $K$, $k$ に対して一意的に定まる. $B$ の濃度を $K$ の $k$ 上の超越次数あるいは超越次元という.

$K$ の $k$ 上の超越次数が $0$ であること, $K$ の $k$ 上の超越基底が空集合であること, $K/k$ が代数拡大であることはすべて同値である.

$K$ が $k$ に $n$ 個の元を添加した体であるならば, $K$ の $k$ 上の超越次数は $n$ 以下である.

$K$ が $k$ 上の $n$ 変数有理関数体であるとは, $K$ が $k$ の純超越拡大であって, その超越次数が $n$ であるときにいう.

$K$ が $k$ 上の $n$ 変数代数関数体であるとは, $k$ 上の $n$ 変数有理関数体 $M$ が存在して, $K$ が $M$ の有限次拡大体であるときにいう.

参考文献

  • 岩澤健吉:代数函数論 増補版, 岩波書店, 1973.
  • 日本数学会 (編):岩波数学辞典 第 4 版, 岩波書店, 2007.

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