対数の和に関する評価

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[補題] $(c_{n}\mid n=1,\,2,\,\ldots)$ を実数列とし, 各実数 $x\in [1,\,\infty)$ に対して $$ S(x) = \sum_{n\leq x}c_{n} $$ とおくことにより, $[1,\,\infty)$ を定義域とする関数 $S(x)$ を定める. ここで, $\displaystyle\sum_{n\leq x}$ は $x$ 以下のすべての正の整数について和をとることを意味する. また, $f(x)$ を $[1, \infty)$ で $C^{1}$ 級の実数値関数とする. このとき, すべての実数 $x\in [1,\,\infty)$ に対して, $$ \sum_{n\leq x}c_{n}f(n) = S(x)f(x) - \int_{1}^{x}S(t)f'(t)\,dt $$ が成り立つ.

[証明] 関連記事を参照.

[定理] 任意の実数 $x\geq 1$ に対して, $$ \left\lvert \sum_{n\leq x}\log n - x\log x + x\right\rvert\leq\log x + 1 $$ が成り立つ. ただし, $\displaystyle\sum_{n\leq x}$ は $x$ 以下のすべての正の整数について和をとることを意味する.

[証明] $x\geq 1$ を実数とする. 補題において, $c_{n}=1$ ($n=1$, $2$, $\ldots$), $f(x)=\log x$ とおくと, $S(x) = \lfloor x\rfloor$ であり, \begin{align*} \sum_{n\leq x}\log n &= \lfloor x\rfloor\log x - \int_{1}^{x}\frac{\lfloor t\rfloor}{t}\,dt \\ &= x\log x - x - (x - \lfloor x\rfloor)\log x \\ &\qquad + \int_{1}^{x}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,dt + 1. \end{align*} 一方, \begin{align*} & 0\leq (x - \lfloor x\rfloor)\log x \leq \log x, \\ & 0\leq \int_{1}^{x}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,dt \leq \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt = \log x. \end{align*} ゆえに, $$ -\log x \leq - (x - \lfloor x\rfloor)\log x + \int_{1}^{x}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,dt \leq \log x. $$ したがって, \begin{align*} &\left\lvert\sum_{n\leq x}\log n - x\log x + x\right\lvert \\ &\qquad = \left\lvert - (x - \lfloor x\rfloor)\log x + \int_{1}^{x}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,dt + 1\right\rvert \\ &\qquad \leq \log x + 1 \end{align*} となる. (証明終)

[定理] 任意の実数 $x\geq 1$ に対して, $$ \left\lvert \sum_{n\leq x}\log^{2}n - x\log^{2}x + 2x\log x - 2x\right\rvert\leq\log^{2}x + 2 $$ が成り立つ. ただし, $\displaystyle\sum_{n\leq x}$ は $x$ 以下のすべての正の整数について和をとることを意味する.

[証明] $x\geq 1$ を実数とする. 補題において, $c_{n}=1$ ($n=1$, $2$, $\ldots$), $f(x)=\log^{2} x$ とおくと, $S(x) = \lfloor x\rfloor$ であり, $$ \sum_{n\leq x}\log^{2} n = \lfloor x\rfloor\log^{2} x - \int_{1}^{x}\frac{2\lfloor t\rfloor\log t}{t}\,dt. $$ $\displaystyle\int_{1}^{x}\log t\,dt = x\log x - x + 1$ であるから, \begin{align*} \sum_{n\leq x}\log^{2} n &= x\log^{2}x - 2x\log x + 2x \\ &\qquad - (x-\lfloor x\rfloor)\log^{2}x + \int_{1}^{x}\frac{2(t-\lfloor t\rfloor)\log t}{t}\,dt - 2. \end{align*} 一方, \begin{align*} & 0\leq (x - \lfloor x\rfloor)\log^{2}x \leq \log^{2}x, \\ & 0\leq \int_{1}^{x}\frac{2(t-\lfloor t\rfloor)\log t}{t}\,dt \leq \int_{1}^{x}\frac{2\log t}{t}\,dt = \log^{2}x. \end{align*} ゆえに, $$ -\log^{2}x \leq - (x - \lfloor x\rfloor)\log^{2}x + \int_{1}^{x}\frac{2(t-\lfloor t\rfloor)\log t}{t}\,dt \leq \log^{2}x. $$ したがって, \begin{align*} &\left\lvert \sum_{n\leq x}\log^{2}n - x\log^{2}x + 2x\log x - 2x\right\rvert \\ &\qquad = \left\lvert - (x - \lfloor x\rfloor)\log^{2}x + \int_{1}^{x}\frac{2(t-\lfloor t\rfloor)\log t}{t}\,dt - 2\right\rvert \\ &\qquad \leq \log^{2}x + 2 \end{align*} となる. (証明終)

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