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Chebyshevのθ関数とψ関数の差の評価

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

$\vartheta(x)$, $\psi(x)$ をそれぞれ Chebyshev の $\vartheta$ 関数, $\psi$ 関数とする.

[定理] $x>1$ を実数とする. このとき, $$ \psi(x) - \vartheta(x) < \frac{x^{\frac{1}{2}}\log^{2}x}{2\log 2} $$ が成り立つ.

[証明] $x$ を実数とする.

$1<x<4$ のとき, $$ \vartheta(x) = \psi(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{$1<x<2$ のとき}, \\ \displaystyle\sum_{p\leq x}\log p, & \mbox{$2\leq x < 4$ のとき} \end{cases} $$ であるから, いずれにせよ $\vartheta(x)-\psi(x)=0$ となり, 不等式は成り立つ.

$x\geq 4$ のとき, $N(x)=\lfloor\log_{2}x\rfloor = \lfloor\log x/\log 2\rfloor$ とおくと, $N(x)\geq 2$ である. また, 任意の整数 $m$ に対して, \begin{align*} m>N(x) &\Longrightarrow m > \log_{2}x \Longrightarrow x < 2^{m} \\ &\Longrightarrow x^{\frac{1}{m}} < 2 \Longrightarrow \vartheta(x^{\frac{1}{m}})=0. \end{align*} ゆえに, $$ \psi(x) = \sum_{m=1}^{\infty}\vartheta(x^{\frac{1}{m}}) = \sum_{m=1}^{N(x)}\vartheta(x^{\frac{1}{m}}). $$ 一方, \begin{align*} \vartheta(x^{\frac{1}{m}}) &= \sum_{p\leq x^{\frac{1}{m}}}\log p \\ &\leq x^{\frac{1}{m}}\log x^{\frac{1}{m}} = \frac{x^{\frac{1}{m}}\log x}{m} \\ &\leq \frac{x^{\frac{1}{2}}\log x}{2}. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} \psi(x) - \varphi(x) &= \sum_{m=2}^{N(x)}\vartheta(x^{\frac{1}{m}}) \\ &\leq\bigl( N(x) - 1 \bigr)\frac{x^{\frac{1}{2}}\log x}{2} \\ &< N(x)\frac{x^{\frac{1}{2}}\log x}{2} \\ &\leq\frac{x^{\frac{1}{2}}\log^{2}x}{2\log 2} \end{align*} となる. (証明終)

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