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二重積分の計算問題

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[問題] 二重積分 $$ \iint_{D}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\,dxdy $$ を計算せよ. ただし, $$ D = \{ (x, y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}\leq x \} $$ とする.

[解答例] $(x, y)\in\mathbb{R}^{2}$ について, $$ x^{2} + y^{2} \leq x \Longleftrightarrow \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{4} $$ が成り立つから, $D$ は中心 $(1/2, 0)$, 半径 $1/2$ の閉円板である. 平面の極座標変換 $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta $$ によって, $$ E = \{ (r, \theta)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\leq r\leq \cos\theta,\, -\pi/2\leq\theta\leq \pi/2 \} $$ は $D$ に対応する.

その変換の Jacobi 行列式を計算すると, $$ \begin{vmatrix} x_r & x_{\theta} \\ y_r & y_{\theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\sin\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r $$ であるから, $$ dxdy = rdrd\theta. $$ 重積分の変数変換により, \begin{align*} &\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\,dxdy \\ &\qquad = \iint_{E}\frac{r}{\sqrt{1-(r\cos\theta)^{2}-(r\sin\theta)^{2}}}\,drd\theta \\ &\qquad = \iint_{E}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,drd\theta \\ &\qquad = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr. \end{align*} $t=1-r^{2}$ とおくと, $dt = -2r$ である. $r$ が $0$ から $\cos\theta$ までを動くとき, $t$ は $1$ から $1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta$ までを動くから, \begin{align*} \int_{0}^{\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr &= -\int_{1}^{\sin^{2}\theta}\frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt \\ &= -\bigl\lbrack\,\sqrt{t}\,\bigr\rbrack_{1}^{\sin^{2}\theta} \\ &= 1-\lvert\sin\theta\rvert. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr \\ &\qquad = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1-\lvert\sin\theta\rvert)\,d\theta \\ &\qquad = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin\theta)\,d\theta \\ &\qquad = 2\bigl\lbrack\,x + \cos\theta\,\bigr\rbrack_{0}^{\!\frac{\pi}{2}} = \pi - 2. \end{align*} したがって, $$ \iint_{D}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\,dxdy = \pi - 2 $$ となる. (解答終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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