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Chebyshevのψ関数の下からの評価

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関数 $\psi(x)$ を, 各実数 $x$ に対して, $$ \psi(x) = \sum_{p^{e}\leq x}\log p $$ とおくことにより定義する. ただし, $\displaystyle\sum_{p^{e}\leq x}$ は $x$ 以下のすべての素数冪についての和をとることを意味する. $x<2$ のときは $\psi(x)=0$ である. $\psi(x)$ は Chebyshev の $\psi$ 関数と呼ばれる. 

$x\geq 2$ のとき, 各素数 $p$ に対して, $x$ を超えない $p$ の最大の冪を $p^{e(p, x)}$ とおくと, $$ e(p, x) = \lfloor\log_{p}x\rfloor = \left\lfloor\frac{\log x}{\log p}\right\rfloor $$ であり, $\log p$ は $\psi(x)$ に $e(p, x)$ 回現れるから, \begin{align*} \psi(x) &= \sum_{p\leq x}e(p, x)\log p \\ &= \sum_{p\leq x}\left\lfloor\frac{\log x}{\log p}\right\rfloor\log p. \end{align*}

さて, $p$ を素数, $x$ を有理数とする. $x\neq 0$ のとき, 整数における素因子分解の一意性により, $$ x = p^{m}\frac{a}{b},\quad a,\,b\in\mathbb{Z},\quad \gcd(a, p)=\gcd(b, p)=1 $$ となるような整数 $m$ が ($p$ と $x$ に対して) 一意的に定まる. この $m$ を $\mathrm{ord}_{p}(x)$ で表す. また, $\mathrm{ord}_{p}(0)=\infty$ と定める. $\mathrm{ord}_{p}(x)$ を $x$ の $p$ 指数という.

[補題] $p$ を素数, $n$ を正の整数, $k$ を $0\leq k\leq n$ なる整数とする. 二項係数 $\displaystyle\binom{n}{k}$ の $p$ 指数について, \begin{align*} \mathrm{ord}_{p}\left( \binom{n}{k} \right) &= \sum_{i=1}^{\lfloor \log_{p}n\rfloor}\left( \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) \\ & = \sum_{i=1}^{\infty}\left( \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right). \end{align*} ただし, $a+1\leq i$ を満たす全ての整数 $i$ に対して, $$ \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor = 0. $$

さらに, 各 $i=1$, $2$, $\ldots$ に対して, $$ 0\leq \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor\leq 1 $$ が成り立つ.

[証明] $a=\lfloor \log_{p}n\rfloor$ とおくと, $a \leq \log_{p}n < a+1$ であるから, $$ p^{a}\leq n< p^{a+1}. $$ また, $0\leq k\leq n$ かつ $0\leq n-k\leq n$ であるから, $a+1\leq i$ を満たす全ての整数 $i$ に対して, $$ \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor = 0. $$ このとき, \begin{align*} \mathrm{ord}_{p}\left( \binom{n}{k} \right) &= \mathrm{ord}_{p}\left( \frac{n!}{k!(n-k)!} \right) \\ &= \mathrm{ord}_{p}(n!) - \mathrm{ord}_{p}(k!) - \mathrm{ord}_{p}((n-k)!) \\ &= \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \\ &= \sum_{i=1}^{a}\left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \sum_{i=1}^{a}\left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \sum_{i=1}^{a}\left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \\ &= \sum_{i=1}^{a}\left( \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) \\ &= \sum_{i=1}^{\infty}\left( \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right). \end{align*} さらに, 各 $i=1$, $2$, $\ldots$ に対して, $$ \frac{n}{p^{i}} = \frac{k}{p^{i}} + \frac{n-k}{p^{i}} $$ であるから, $$ 0\leq \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \leq 1 $$ となる. (証明終)

[補題] $p$ を素数, $n$ を正の整数, $k$ を $0\leq k\leq n$ なる整数とする. 二項係数 $\displaystyle\binom{n}{k}$ の $p$ 指数 $\displaystyle e(p)= \mathrm{ord}_{p}\left( \binom{n}{k} \right)$ について, $p^{e(p)} \leq n$ が成り立つ.

[証明] $a=\lfloor \log_{p}n\rfloor$ とおくと, 前補題より, $$ e(p) = \sum_{i=1}^{a}\left( \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right), $$ かつ $$ 0\leq \left\lfloor\frac{n}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{k}{p^{i}}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \leq 1\quad (i=1,\,2,\,\ldots). $$ ゆえに, $$ e(p) \leq \sum_{i=1}^{a} 1 = a \leq \log_{p}n. $$ したがって, $p^{e(p)} \leq n$ となる. (証明終)

[定理] $x\geq 2$ を実数とする. このとき, $$ \frac{x\log 2}{4} < \psi(x) $$ が成り立つ.

[証明] $\displaystyle N=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}$ とおく. また, 各素数 $p$ に対して, $N$ の $p$ 指数を $e(p)$ とおく. 前補題より, $$ e(p) \leq \lfloor\log_{p}2n\rfloor=\left\lfloor\frac{\log 2n}{\log p}\right\rfloor. $$ また, $p>2n$ ならば $e(p)=0$ である. よって, $$ \log N = \sum_{p\leq 2n}e(p)\log p \leq\sum_{p\leq 2n}\left\lfloor\frac{\log 2n}{\log p}\right\rfloor\log p = \psi(2n). $$ 一方, $$ N = \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} = \prod_{k=1}^{n}\frac{n+k}{k} \geq 2^{n}. $$ ゆえに, $$ \psi(2n) \geq \log 2^{n} = n\log 2. $$

さて, 任意の実数 $x\geq 2$ に対して, $n=\lfloor x/2\rfloor$ ($\geq 1$) とおく. $x\geq 4$ のとき, $$ n > \frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{4} + \left( \frac{x}{4} - 1 \right) \geq \frac{x}{4}. $$ また, $2\leq x<4$ のとき, $$ n \geq 1 > \frac{x}{4}. $$ いずれにせよ, $n>x/4$ であり, $$ \psi(x)\geq \psi(2n)\geq n\log 2 > \frac{x\log 2}{4} $$ となる. (証明終)

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