代数的閉包

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体の同型

まず, 体の同型とは, 環として同型であることを意味する.

$K$, $K'$ を体とし, $\varphi:K\rightarrow K'$ を環における準同型写像とするとき, $\varphi$ は必ず単射になり, $K$ と $\varphi(K')$ とは同型になる. そこで, $\varphi$ のことを中への同型という. さらに, $\varphi$ が全射であるとき, すなわち通常の意味での同型であるとき, $\varphi$ のことを上への同型ということもある.

$F$, $K$, $K'$ を体とし, $K$, $K'$ はともに $F$ を部分体として含むものとする.

$\varphi$ が $K$ から $K'$ の中への同型であって, 任意の $\alpha\in F$ に対して $\varphi(\alpha)=\alpha$ が成り立つとき, $\varphi$ を $K$ から $K'$ の中への $F$ 上の同型, あるいは中への $F$ 同型という.

また, $\varphi$ が $K$ から $K'$ の (上への) 同型であって, 任意の $\alpha\in F$ に対して $\varphi(\alpha)=\alpha$ が成り立つとき, $\varphi$ を $F$ 上の同型, あるいは $F$ 同型という.

代数的に閉じている

$K/F$ を体の拡大とする.

$K$ の元 $\alpha$ が $F$ 上代数的であるとは, ある $0$ でない多項式 $f(X)\in F[X]$ が存在して, $\alpha$ が $f(X)$ の根であるとき, すなわち $f(\alpha)=0$ であるときにいう.

$F$ 上代数的な $K$ の元全体からなる $K$ の部分体を, $K$ における $F$ の代数的閉包という.

$K$ における $F$ の代数的閉包が $F$ と一致するとき, $F$ は $K$ において代数的に閉じているという.

[定理] $K/F$ を体の拡大とする. このとき, $K$ における $F$ の代数的閉包は, $K$ において代数的に閉じている.

[定理] $F$ を体とし, $K=F(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})$ を有理関数体 (=有理式全体からなる体) とする. このとき, $F$ は $K$ において代数的に閉じている.

代数的閉体

体の拡大 $K/F$ が代数的であるとは, $K$ のすべての元が $F$ 上代数的であるときにいう. またこのとき, $K/F$ を代数拡大といい, $K$ を $F$ の代数拡大体という.

体 $F$ が代数的閉体であるとは, $F$ の代数拡大体が $F$ 自身のみであるときにいう. このことは, 以下の各々の条件と同値である.

・$F[X]$ に属する定数でない多項式はすべて $F[X]$ において $1$ 次因子の積に分解する.

・$F[X]$ に属する定数でない多項式はすべて $F$ において根をもつ.

・$F[X]$ における既約多項式はすべて $1$ 次の多項式である.

[例] 複素数体 $\mathbb{C}$ は代数的閉体である (代数学の基本定理).

[例] 有理数体, 実数体は代数的閉体ではない.

[例] 有限体は代数的閉体ではない.

代数的閉包

$K$ を体とする. 体 $\Omega$ が $K$ の代数的閉包であるとは, $\Omega$ が代数的閉体であり, かつ $K$ の代数拡大体であるときにいう.

[定理] 任意の体 $K$ に対して, $K$ の代数的閉包が存在する.

[定理] $K$, $K'$ を同型な体とし, $\Omega$, $\Omega'$ をそれぞれ $K$, $K'$ の代数的閉包とする. このとき, $K$ から $K'$ への同型は常に $\Omega$ から $\Omega'$ への同型に拡張される.

[定理] $K$ を体とし, $\Omega$, $\Omega'$ を $K$ の代数的閉包とする. このとき, $\Omega$ と $\Omega'$ とは $K$ 同型である.

[定理] $K/F$ を体の拡大とし, $F$ の $K$ における代数的閉包を $\Omega$ とする. このとき, $K$ が代数的閉体ならば, $\Omega$ は $F$ の代数的閉包である.

[系] $K/F$ を体の拡大とし, $\Omega_{K}$ を $K$ の代数的閉包とする. $F$ の $\Omega_{K}$ における代数的閉包を $\Omega_{F}$ とすれば, $\Omega_{F}$ は $F$ の代数的閉包である.

[定理] $F$ を体, $\Omega$ を $F$ の代数的閉包とする. このとき, $F$ の任意の代数拡大体 $K$ は, $\Omega/F$ のある中間体と $F$ 同型である.

[定理] $F$ を体, $\Omega$ を $F$ の代数的閉包, $K$ を $\Omega/F$ の中間体とする. このとき, $K$ から $\Omega$ の中への $F$ 同型は常に $\Omega$ の $F$ 上の自己同型に延長される.

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