対等な有限集合における全射と単射の同値性

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[定理] $A$, $B$ を有限集合とし, $A$ は $B$ と対等であるとする. また, $f:A\rightarrow B$ を写像とする. このとき, $f$ が単射であることと $f$ が全射であることは同値である.

[証明] $f$ が単射であるとする. このとき, $A$ は $f(A)$ と対等である. 一方, 仮定より $A$ は $B$ と対等である. ゆえに, $f(A)$ は $B$ と対等である. $f(A)$, $B$ は有限集合であり, $f(A)\subseteq B$ であるから, $f(A)=B$ となる. したがって, $f$ は全射である.

逆に, $f$ が全射であるとする. このとき, 任意の $y\in B$ に対して, $y$ の逆像 $$ f^{-1}(y) = \{x\in A\mid f(x)=y\} $$ は空でない. よって, 写像 $s:B\rightarrow A$ で, 任意の $y\in B$ に対して $s(y)\in f^{-1}(y)$ となるものが存在する. ここで, $B$ は有限集合なので, 選択公理は不要であることに注意せよ. $s$ の定め方から, 任意の $y\in B$ に対して, $$ f\circ s(y) = f(s(y)) = y. $$ ゆえに, $f\circ s$ は $B$ 上の恒等写像である. 恒等写像は単射であるから, $s$ は単射である. 先の結果から, $s$ は全射になる. したがって, $f$ は単射である. (証明終)

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