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デデキント有限集合の部分集合もまたデデキント有限である

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集合 $A$ が集合 $B$ と対等であるとは, $A$ から $B$ への全単射が存在するときにいう. このことを $A\sim B$ で表す. 全単射の逆写像もまた全単射なので, $A\sim B$ ならば $B\sim A$ である.

集合 $A$ が Dedekind 有限であるとは, $A$ の真部分集合で $A$ と対等なものが存在しないときにいう. この条件は, $A$ の任意の部分集合 $B$ に対して, $A\sim B$ ならば $A=B$ が成り立つことと同値である.

[定理] Dedekind 有限集合の部分集合もまた Dedekind 有限である.

[証明] $B$ を $A$ の部分集合とする. $B'$ を $B$ の部分集合とし, 全単射 $f:B'\rightarrow B$ が存在するものとする. $A'=(A\setminus B)\cup B'$ とおく. $A'\subseteq A$ かつ $(A\setminus B)\cap B'=\emptyset$ である. 実際, \begin{align*} & A' = (A\setminus B)\cup B' \subseteq (A\setminus B)\cup B = A, \\ & (A\setminus B)\cap B' \subseteq (A\setminus B)\cap B = \emptyset. \end{align*} 写像 $g:A'\rightarrow A$ を $$ g(x) = \begin{cases} f(x), & \mbox{$x\in B'$ のとき}, \\ x, & \mbox{$x\in A\setminus B$ のとき} \end{cases} $$ とおくことにより定めると, $g$ は全単射である. $A$ は Dedekind 有限集合であると仮定しているから, $A=A'$ である. このとき, $$ B' = A'\setminus (A\setminus B) = A\setminus(A\setminus B) = B. $$ ゆえに, $B$ の任意の部分集合 $B'$ に対して, $B'$ から $B$ への全単射が存在するならば $B=B'$ である. (証明終)

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