可換環論に登場する環の定義

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以下, 環というときには単位元を含むものとする. また, 部分環というときには単位元を共有するものとする.

$\mathbb{N}$ を自然数全体からなる集合とする. $0$ は自然数に含むものとする. したがって, $\mathbb{N}$ は負でない整数全体からなる集合に一致する.

イデアルの高さ

可換環 $R$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の高さを, $\mathfrak{p}$ から始まる素イデアルの列 $$ \mathfrak{p}=\mathfrak{p}_{0}\supsetneq\mathfrak{p}_{1}\supsetneq\cdots\supsetneq\mathfrak{p}_{r} $$ の長さ $r$ の最大値と定める. 最大値が存在しないときは $\infty$ とする.

一般のイデアル $\mathfrak{a}$ ($\subsetneq R$) の高さは, $\mathfrak{a}$ を含む素イデアルの高さの最小値と定める.

$R$ の Krull 次元を, 可換環 $R$ のすべての素イデアルの高さの最大値と定める. 最大値が存在しないときは $\infty$ とする.

$R$ が整域のとき, 零イデアル $(0)$ は包含関係について最小の素イデアルになるので, 高さを考えるときは $\mathfrak{p}_{r}=(0)$ としてよい. 整域 $R$ の Krull 次元が $0$ であることは, $R$ が体であることと同値である. また, 整域 $R$ の Krull 次元が $1$ 以下であることは, $(0)$ 以外の素イデアルがすべて極大イデアルになることと同値である.

$R$ が整域でないとき, 零イデアル $(0)$ は素イデアルではない. 整域でない可換環 $R$ の Krull 次元が $0$ であることは, $R$ の素イデアルがすべて極大イデアルになることと同値である.

[例] 体でない単項イデアル整域の Krull 次元は $1$ である.

[例] 体 $K$ 上の $n$ 変数多項式環 $K[X_{1},\ldots,X_{n}]$ の Krull 次元は $n$ である.

商環

$R$ を可換環とする. $S$ を $R$ の積閉部分集合 (=$R$ の部分集合で, $R$ の単位元を含み, $R$ の乗法に関して閉じた集合) とし, $0\not\in S$ であるとする.

$(x, s)$, $(y, t)\in R\times S$ に対して, $$ (x, s)\sim (y, t) \Longleftrightarrow (xt-ys)u = 0\;(\exists u\in S) $$ と定義すると, $\sim$ は $R\times S$ 上の同値関係である. $R\times S$ の $\sim$ による商集合 $R\times S/\sim$ を $S^{-1}R$ で表し, $(x, s)$ の属する同値類を $x/s$ で表す. $S^{-1}R$ における加法と乗法を \begin{align*} &(x/s) + (y/t) = (xt+ys)/(st), \\ &(x/s)(y/t) = (xy)/(st) \end{align*} によって定める. この定め方は代表元の選び方によらない. この加法と乗法により $S^{-1}R$ は可換環になる. 零元は $0/1$, 単位元は $1/1$ である. $S^{-1}R$ を $R$ の $S$ による商環という.

特に, $S$ として $R$ の零因子でない元全体をとったとき, $S^{-1}R$ を全商環という.

写像 $f:R\rightarrow S^{-1}R$, $a\mapsto a/1$ は環の準同型写像である. $S^{-1}R$ が全商環のときには, $f$ は単射になるので, これにより $f(R)$ と $R$ とを同一視して $R\subseteq S^{-1}R$ とみなすことができる.

$R$ が整域のとき, その全商環, すなわち $S=R\setminus\{0\}$ による商環は体になる. これを $R$ の商体という. 整域 $R$ の商体は $R$ を含む体の中で最小のものである.

$R$ を可換環, $\mathfrak{a}$ を $R$ のイデアルとする. $S=\{x\in R\mid \mbox{$x + \mathfrak{a}$ が $R/\mathfrak{a}$ の非零因子} \}$ とおけば, $S$ は $R$ の積閉部分集合である. この $S$ による $R$ の商環のことを, $R$ の $\mathfrak{a}$ による商環という. $\mathfrak{a}$ が素イデアル $\mathfrak{p}$ である場合が特に重要であり, そのときには $S=R\setminus\mathfrak{p}$ となっている.

素元分解整域

整域 $R$ が素元分解整域 (あるいは, 一意分解整域) であるとは, $0$ でも単元でもない元がすべて, 有限個の素元の積として, 順序と単元の積を除いて一意的に表されるときにいう.

可換環 $R$ が単項イデアル環であるとは, $R$ のイデアルがすべて単項イデアルであるときにいう. さらに, $R$ が整域のとき, $R$ を単項イデアル整域という.

[例] $m$ が合成数のとき, 剰余環 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ は単項イデアル環であるが整域ではない.

単項イデアル整域は素元分解整域である.

整域 $R$ が Euclid 整域であるとは, ある写像 $v:R\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{N}$ が存在して, 次の条件を満たすときにいう: 任意の $a$, $b\in R$, $a\neq 0$ に対して, ある $q$, $r\in R$ が存在して, $b=aq+r$ であり, $r=0$ または $v(r)<v(a)$ を満たす.

Euclid 整域は単項イデアル整域である.

なお, 多くの文献で, Euclid 整域の定義に次の条件を付加している:任意の $a$, $b\in R$, $a\neq 0$, $b\neq 0$ に対して, $v(a)\leq v(ab)$.

整拡大環

$R'$ を可換環とし, $R$ を $R'$ の部分環とする.

$R'$ の元 $a$ が $R$ 上整 (あるいは, 整従属) であるとは, ある $R$ 係数の最高次係数が $1$ の多項式 $f(X)$ が存在して, $a$ が $f(X)$ の根であるときにいう.

$R'$ のすべての元が $R$ 上整であるとき, $R'$ は $R$ 上整であるという. またこのとき, $R'$ を $R$ の整拡大環という.

$S$ を $R$ の部分環とする. $R$ の元で $S$ 上整な元全体からなる集合 $S'$ は $R$ の部分環になる. この $S'$ を $S$ の $R$ における整閉包という. また, $S=S'$ であるとき, $S$ は $R$ の中で整閉であるという.

可換環 $R$ の全商環における $R$ の整閉包を単に $R$ の整閉包という.

単に整域 $R$ が整閉であるという場合には, $R$ の商体の中で整閉であることを意味する. またこのとき, $R$ を整閉整域という.

[例] 素元分解整域は整閉整域である.

Noether 環

可換環 $R$ が Noether 環であるとは, $R$ の任意のイデアルが有限生成であるときにいう. さらに, $R$ が整域のとき, $R$ を Noether 整域という.

次の条件はそれぞれ, 可換環 $R$ が Noether 環であるための必要十分条件である.

・$R$ のイデアルからなる空でない集合は極大元をもつ. この条件を極大条件という.

・$R$ のイデアルの無限増加列 $$ \mathfrak{a}_{1}\subseteq\mathfrak{a}_{2}\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak{a}_{n}\subseteq\cdots $$ において, ある番号 $N$ が存在して $\mathfrak{a}_{N}=a_{N+1}=\cdots$ となる. この条件を昇鎖条件という.

Noether 環の準同型写像による像は Noether 環である. したがって特に, Noether 環の剰余環は Noether 環である. 一方で, Noether 環の部分環は必ずしも Noether 環とは限らない.

Krull 次元 $0$ の Noether 環を Artin 環という. $R$ が整域の場合, $R$ がArtin 環であることと体であることは同値である. $R$ が整域でない場合, $R$ が Artin 環であるための必要十分条件は, $R$ が Noether 環で, 素イデアルがすべて極大イデアルになることである.

次の条件はそれぞれ, 可換環 $R$ が Artin 環であるための必要十分条件である.

・$R$ のイデアルからなる空でない集合は極小元をもつ. この条件を極小条件という.

・$R$ のイデアルの無限減少列 $$ \mathfrak{a}_{1}\supseteq\mathfrak{a}_{2}\supseteq\cdots\supseteq\mathfrak{a}_{n}\supseteq\cdots $$ において, ある番号 $N$ が存在して $\mathfrak{a}_{N}=a_{N+1}=\cdots$ となる. この条件を降鎖条件という.

[例] 整数環 $\mathbb{Z}$ は Noether 環であるが Artin 環ではない.

[例] 任意の整数 $m\geq 1$ に対して, 剰余環 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ は Artin 環である.

Dedekind 整域

Krull 次元 $1$ の Noether 整閉整域を Dedekind 整域という. すなわち, 体でない整域 $R$ が次の $3$ つの条件を満たすとき, $R$ を Dedekind 整域という.

(i) $R$ は Noether 環である.

(ii) $R$ は整閉である.

(iii) $R$ の零イデアルと異なる素イデアルはすべて極大イデアルである.

[定理 (イデアル論の基本定理)] $R$ を Dedekind 整域とする. このとき, 零イデアルとも $R$ 自身とも異なる任意のイデアルは素イデアルの積として, 積の順序を除いて一意的に表される.

逆に, 整域 $R$ においてイデアル論の基本定理が成り立てば, $R$ は Dedekind 整域である.

Dedekind 整域 $R$ が, 単項イデアル整域であることと素元分解整域であることは同値である.

$R$ を整域, $K$ を $R$ の商体とする. $K$ の $R$ 部分加群 $\mathfrak{a}$ が分数イデアルであるとは, ある $0$ でない $\alpha\in K$ が存在して, $\alpha\mathfrak{a}\subseteq R$ となるときにいう.

分数イデアル $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ に対して, $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\{\sum\alpha_{i}\beta_{i}\;\mbox{(有限和)}\mid \alpha_{i}\in\mathfrak{a},\,\beta_{i}\in\mathfrak{b} \}$ とおくと, $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ もまた分数イデアルになる. また, $\mathfrak{a}^{-1}=\{x\in K\mid x\mathfrak{a}\subseteq R \}$ とおくと, $\mathfrak{a}^{-1}$ もまた $R$ の分数イデアルである. $\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1}=R$ を満たすとき, $\mathfrak{a}$ は可逆であるという.

整域 $R$ が Dedekind 整域であるための必要十分条件は, $R$ の任意の $(0)$ でないイデアルが可逆であることである.

整域 $R$ の任意の $(0)$ でない有限生成イデアルが可逆であるとき, $R$ を Prüfer 環という.

可換環 $R$ が Dedekind 整域であるための必要十分条件は, $R$ が Prüfer 環 かつ Noether 環であることである.

局所環

可換環 $R$ が半局所環であるとは, $R$ の極大イデアルが有限個しかないときにいう. さらに, $R$ が整域であれば, $R$ を半局所整域という.

可換環 $R$ が局所環であるとは, $R$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ がただ $1$ つ存在するときにいう. またこのとき, $(R, \mathfrak{m})$ は局所環であるという. さらに, $R$ が整域であれば, $R$ を局所整域という.

可換環 $R$ の任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対して, その補集合 $R\setminus\mathfrak{p}$ は $R$ の積閉部分集合であるから, $R\setminus\mathfrak{p}$ による $R$ の商環 $R_{\mathfrak{p}}$ が定まる. $R_{\mathfrak{p}}$ は局所環になる. $R_{\mathfrak{p}}$ を $R$ の $\mathfrak{p}$ での局所化という.

$R$ が Noether 環ならば $R_{\mathfrak{p}}$ も Noether 環である.

可換環 $R$ が付値環であるとは, $R$ が局所整域であり, $R$ の有限生成イデアルはすべて単項イデアルであるときにいう.

局所単項イデアル整域 (すなわち, ただ $1$ つの極大イデアルをもつ単項イデアル整域) のうち体でないものを離散付値環という.

Noether 局所環 $(R, \mathfrak{m})$ が完備局所環であるとは, $R$ が $\mathfrak{m}$ 進位相に関して完備であるときにいう.

正則環

Noether 局所環 $(R, \mathfrak{m})$ が正則局所環であるとは, $\mathfrak{m}$ を生成する元の個数の最小値 $h$ が $R$ の Krull 次元に一致するときにいう. また, $\mathfrak{m}$ を生成する $h$ 個の元の組を正則パラメータ系という.

正則局所環は素元分解整域であり, 特に整閉整域である.

Noether 環 $R$ が正則環であるとは, $R$ の任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対して, $R$ の $\mathfrak{p}$ での局所化 $R_{\mathfrak{p}}$ が正則局所環であるときにいう.

Cohen-Macaulay 環

可換環 $R$ の元 $a$ が $R$ 加群 $M$ 上の零因子であるとは, ある $x\in M$ が存在して, $ax=0$ かつ $x\neq 0$ であるときにいう.

$R$ を可換環, $M$ を $R$ 加群とする. 長さ $n$ の $R$ の元の列 $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ が $M$ 上の正規列であるとは, 次の $2$ 条件を満たすときにいう.

(i) $\displaystyle M\neq\sum_{i=1}^{n}a_{i}M$.

(ii) 各 $i=1$, $2$, $\ldots$, $n$ に対して, $a_{i}$ は $\displaystyle M/\sum_{j=1}^{i-1}a_{j}M$ 上の非零因子である.

Noether 局所環 $(R,\mathfrak{m})$ 上の有限生成加群 $M$ について, $\mathfrak{m}$ に含まれる $M$ 上の正規列の長さの最大値を $M$ の深さという.

Noether 局所環 $(R,\mathfrak{m})$ が Cohen-Macaulay 局所環であるとは, $R$ の Krull 次元と $R$ の深さとが一致するときにいう.

Noether 環 $R$ が Cohen-Macaulay 環であるとは, $R$ の任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対して, $R$ の $\mathfrak{p}$ での局所化 $R_{\mathfrak{p}}$ が Cohen-Macaulay 局所環になるときにいう.

Noether 局所環 $(R,\mathfrak{m})$ が Gorenstein 局所環であるとは, $R$ の移入次元 (injective dimension) が有限である (すなわち, $R$ のすべての移入分解 (injective resolution) の長さの最大値が存在する) ときにいう. Gorenstein 局所環は Cohen-Macaulay 局所環である.

Noether 環 $R$ が Gorenstein 環であるとは, $R$ の任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対して, $R$ の $\mathfrak{p}$ での局所化 $R_{\mathfrak{p}}$ が Gorenstein 局所環になるときにいう. Gorenstein 環は Cohen-Macaulay 環である.

Krull 環

整域 $R$ が Krull 環であるとは, 次の $3$ つの条件を満たすときにいう.

(i) $R$ の任意の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対して, $R$ の $\mathfrak{p}$ での局所化 $R_{\mathfrak{p}}$ は離散付値環である.

(ii) $R$ の高さ $1$ の素イデアル全体からなる集合を $\mathcal{P}$ とするとき, $\displaystyle R=\bigcap_{\mathfrak{p}\in\mathcal{P}}R_{\mathfrak{p}}$.

(iii) 任意の $0$ でない $a\in R$ に対して, $a$ を含む高さ $1$ の素イデアルは有限個.

永田環

整域 $R$ が整拡大についての有限条件を満たすとは, $R$ の商体の有限次代数拡大体 $L$ における $R$ の整閉包が常に $R$ 加群として有限生成であるときにいう.

Noether 環 $R$ が永田環 (Nagata ring) あるいは擬幾何学環 (pseudo-geometric ring) であるとは, $R$ のすべての素イデアル $\mathfrak{p}$ に対して, 剰余環 $R/\mathfrak{p}$ が整拡大についての有限条件を満たすときにいう.

次数環

可換環 $R$ が次数環であるとは, $\mathbb{Z}$ 加群 (すなわち, 加法群) として $\displaystyle R=\bigoplus_{n=0}^{\infty}R_{n}$ のように部分加群の直和になっていて, $R_{n}R_{m}\subseteq R_{n+m}$ ($\forall m$, $\forall n\in\mathbb{N}$) となるときにいう.

Hensel 環

局所環 $(R, \mathfrak{m})$ が Hensel 環であるとは, $f(X)$, $g_{0}(X)$, $h_{0}(X)\in R[X]$ を最高次係数が $1$ の多項式とするとき, \begin{align*} & f(X)-g_{0}(X)h_{0}(X)\in\mathfrak{m}R[X], \\ & g_{0}(X)R[X] + h_{0}(X)R[X] + \mathfrak{m}R[X] = R[X] \end{align*} ならば, ある最高次係数が $1$ の多項式 $g(X)$, $h(X)\in R[X]$ が存在して, \begin{align*} & f(X)=g(X)h(X), \\ & g(X)-g_{0}(X)\in\mathfrak{m}R[X], \\ & h(X)-h_{0}(X)\in\mathfrak{m}R[X] \end{align*} となるときにいう.

参考文献

  • 永田雅宜: 可換環論, 紀伊国屋書店, 1974.
  • 日本数学会 (編):岩波数学辞典 第 4 版, 岩波書店, 2007.

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