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p群

p 群, 有限群の Sylow p 部分群, Abel 群の p-primary component, 有限群の Hall 部分群の定義.

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

p 群

$G$ を群, $p$ を素数とする. $G$ のすべての元の位数が $p$ の冪であるとき, $G$ を $p$ 群という.

$p$ 群の部分群もまた $p$ 群である.

[命題] $G$ を $p$ 群, $N$ を $G$ の正規部分群とする. このとき, 剰余群 $G/N$ は $p$ 群である.

[証明] $1$ を $G$ の単位元, $\pi:G\rightarrow G/N$ を自然な全射準同型とする. $G/N$ の単位元は $\pi(1)=N$ である. $G/N$ の元 $\pi(x)$ ($x\in G$) を任意にとる. $\pi(x)$ の位数を $k$ とおく. $G$ は $p$ 群だから, ある整数 $n\geq 0$ が存在して, $x$ の位数は $p^{n}$ である. $x^{p^{n}} = 1$ より, $\pi(x)^{p^{n}} = \pi(x^{p^{n}}) = \pi(1)$. ゆえに, $k\mid p^{n}$. したがって, $k$ は $p$ の冪である. (証明終)

$p$ 群は必ずしも有限群とは限らない. $G$ が有限群のとき, $G$ が $p$ 群であるための必要十分条件は $G$ の位数が $p$ の冪であることである.

[定理] 任意の素数 $p$ に対して, 有限 $p$ 群は冪零群 (nilpotent group) である.

[定理] $G$ を有限群とする. このとき, $G$ が冪零群であるための必要十分条件は, $G$ が (いくつかの素数 $p$ についての) $p$ 群の直積であることである.

有限群の Sylow p 部分群

$G$ を群, $p$ を素数とする. $p$ 群であるような $G$ の部分群を $G$ の $p$ 部分群という.

[定理] $G$ を有限群, $p$ を素数とする. $G$ の位数が $p^{k}$ で割り切れるならば, $G$ は位数 $p^{k}$ の部分群を含む.

$G$ を有限群, $p$ を素数とする. $G$ の $p$ 部分群の中で極大なものを $G$ の Sylow $p$ 部分群という.

[定理] $G$ を有限群, $H$ を $G$ の部分群, $p$ を素数とし, $\lvert G\rvert=p^{n}m$, $\gcd(p, m)=1$ であるとする. このとき, $H$ が $G$ の Sylow $p$ 部分群であるための必要十分条件は $\lvert H\rvert = p^{n}$ であることである.

[系] $G$ を有限群, $p$ を素数とする. このとき, $G$ の Sylow $p$ 部分群は必ず存在する.

[注意] 素数 $p$ が 有限群 $G$ の位数を割らないとき, $G$ の Sylow $p$ 部分群は単位元のみからなる $1$ 元集合である.

[Sylow の定理] $G$ を有限群, $p$ を素数とする.

(i) $G$ のどんな $p$ 部分群も, $G$ のある Sylow $p$ 部分群に含まれる.

(ii) $G$ のどの $2$ つの Sylow $p$ 部分群も互いに共役である.

(iii) $G$ の Sylow $p$ 部分群の個数 $r$ は $r\equiv 1\pmod{p}$ を満たす.

[命題] $G$ を有限群, $H$ を $G$ の部分群, $p$ を素数とする. このとき, $H$ の任意の Sylow $p$ 部分群 $Q$ に対して, $G$ のある Sylow $p$ 部分群 $P$ が存在して, $Q=H\cap P$ が成り立つ.

[証明] $Q$ を $H$ の Sylow $p$ 部分群とする. $Q$ は $G$ の $p$ 部分群だから, Sylow の定理により, $G$ のある Sylow $p$ 部分群 $P$ が存在して, $Q\subseteq P$. よって, $Q\subseteq H\cap P$ である. 逆に, $H\cap P$ は $H$ の $p$ 部分群であり, $Q$ は $H$ の $p$ 部分群の中で極大なものであるから, $H\cap P\subseteq Q$. したがって, $Q=H\cap P$ となる. (証明終)

[注意] 有限群 $G$ の部分群 $H$ と $G$ の Sylow $p$ 部分群との共通部分が常に $H$ の Sylow $p$ 部分群になる, というわけではない.

[命題] $G$ を有限群, $f:G\rightarrow G'$ を群の準同型とし, $p$ を素数とする.

(i) $G$ の任意の Sylow $p$ 部分群 $P$ に対して, $f(P)$ は $f(G)$ の Sylow $p$ 部分群である.

(ii) $f(G)$ の任意の Sylow $p$ 部分群 $Q$ に対して, $G$ のある Sylow $p$ 部分群 $P$ が存在して, $Q=f(P)$ が成り立つ.

[定理] $G$ を有限群とする. このとき, 次の $3$ つの条件は同値である.

(i) $G$ は冪零群 (nilpotent group) である.

(ii) 任意の素数 $p$ に対して, $G$ の Sylow $p$ 部分群は $G$ の正規部分群である.

(iii) $G$ は Sylow $p$ 部分群の直積である. もっと正確にいうと, $\lvert G\rvert=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{t}^{e_{t}}$ と素因数分解し, $P_{i}$ を $G$ の Sylow $p_{i}$ 部分群とするとき, $G$ は $P_{1}$, $\ldots$, $P_{t}$ の直積である.

Abel 群の p-primary component

$A$ を Abel 群とする. 素数 $p$ に対して, $A$ が $p$-primary であるとは, $A$ が $p$-群であるときにいう. $A$ が primary であるとは, ある素数 $p$ が存在して $A$ が $p$-primary であるときにいう.

[注意] 定義から明らかであるが, abelian $p$-group と $p$-primary abelian group は同じ意味である. 両方の用語ともいくつかの書籍で見かけたので一応注意しておく.

素数 $p$ に対して, $$ A_{p} = \{ a\in A \mid p^{n}a = 0\;(\exists n\in\mathbb{Z},\,n\geq 1) \} $$ は $A$ の $p$ 部分群になる ($a$ の位数を $k$ とするとき, $p^{n}a=0$ ならば $k\mid p^{n}$. よって, $k$ は $p$ の冪である). $A_{p}$ を $A$ の $p$-primary component という (あるいは, $p$-part ということもある) . $A$ が有限 Abel 群ならば, $A$ の Sylow $p$ 部分群がただ $1$ つ定まり, $A$ の $p$-primary component と一致する.

[注意] $A$ が Abel 群でない場合, $A_{p}$ が $A$ の部分群になるとは限らない. 例えば, $A$ を $3$ 次対称群 $S_{3}$ とした場合, $A_{2}$ (=位数が 2 の冪の元全体からなる $S_{3}$ の部分集合) は群にならない.

[定理] $A$ を Abel 群とし, $\mathrm{Tor}(A)$ を $A$ のトージョン部分群 (torsion subgroup), すなわち, $$  \mathrm{Tor}(A) = \{ a\in A \mid na = 0\;(\exists n\in\mathbb{Z},\,n\geq 1) \} $$ とする. このとき, $$ \mathrm{Tor}(A) = \bigoplus_{p} A_{p} $$ が成り立つ. ここで, $p$ は素数全体をわたる.

$p$ を素数とする. Abel $p$ 群が elementary であるとは, $A$ の単位元以外の元はすべて位数 $p$ であるときにいう.

[例] 素数位数の巡回群は elementary な Abel 群である.

[例] Klein の 4 元群 (Klein 4-group) は elementary かつ $2$-primary な Abel 群である.

[定理] $p$ を素数, $A$ を Abel 群とする. このとき, 次の条件は同値である.

(i) $A$ は elementary かつ $p$-primary である.

(ii) 任意の $a\in A$ に対して $pa=0$ が成り立つ.

(iii) $A$ は (和とスカラー倍を自然に定義すれば) $\mathbb{F}_{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上のベクトル空間になる.

(iv) $A$ は $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (位数 $p$ の巡回群) の直和に同型である.

有限群の Hall 部分群

$G$ を有限群, $\pi$ を素数の集合とする. $G$ の位数の素因子がすべて $\pi$ に属するとき, $G$ を $\pi$ 群 ($\pi$-group) という. また, $G$ の位数の素因子がすべて $\pi$ に属さないとき, $G$ を $\pi'$ 群 ($\pi'$-group) という.

[注意] $\pi$ がただ $1$ つの素数 $p$ からなる集合 $\{p\}$ のとき, $\{p\}$ 群のことを単に $p$ 群と書くが, これは以前に定義した $p$ 群と同じものである. また, $\{p\}'$ 群のことを単に $p'$ 群と書く. 例えば, $2'$ 群とは奇数位数の有限群のことである.

$G$ を有限群, $H$ を $G$ の部分群, $\pi$ を素数の集合とする. $H$ が $G$ の Hall $\pi$ 部分群 (Hall $\pi$-subgroup) であるとは, $H$ が $\pi$ 群であって $G/H$ が $\pi'$ 群であるときにいう.

[例] $p$ を素数とするとき, Hall $p$ 部分群とは Sylow $p$ 部分群にほかならない.

有限群 $G$ の部分群 $H$ が Hall 部分群であるとは, ある素数の集合 $\pi$ が存在して $H$ が Hall $\pi$ 部分群であるときにいう.

[命題] $G$ を有限群, $H$ を $G$ の部分群とする. このとき, 次の $2$ つの条件は同値である.

(i) $H$ は $G$ の Hall 部分群である.

(ii) $H$ の位数 $\lvert H\rvert$ と $G$ における $H$ の指数 $(G:H)=\lvert G/H\rvert=\lvert G\rvert/\lvert H\rvert$ とは互いに素である.

[定理] $G$ を冪零群 (nilpotent group) とするとき, 素数からなる任意の集合 $\pi$ に対して, $G$ の Hall $\pi$ 部分群 $H$ が一意的に存在して, $H$ は $G$ の正規部分群になる.

[定理] 有限群 $G$ が可解群 (solvable group) であるための必要十分条件は, 素数からなる任意の集合 $\pi$ に対して Hall $\pi$ 部分群が存在することである.

[Hall の定理] $G$ を可解群とし, $\pi$ を素数の集合とする.

(i) $G$ の Hall $\pi$ 部分群が存在する.

(ii) $G$ のどの $2$ つの Hall $\pi$ 部分群も互いに共役である.

(iii) $G$ のどんな $\pi$ 部分群も, $G$ のある Hall $\pi$ 部分群に含まれる.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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