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群の作用

群の作用 (group action) に関する基本的な用語の整理.

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

群の作用

$G$ を群, $X$ を集合とする ($X$ は空でないと仮定する. 以下同様). $G$ が $X$ に作用するとは, 写像 $$ G\times X\rightarrow X,\quad (g, x) \mapsto g\cdot x $$ が存在して, 次の $2$ つの条件を満たすときにいう.

(i) 任意の $x\in X$ に対して, $1\cdot x = x$ が成り立つ. ただし, $1$ は $G$ の単位元とする.

(ii) 任意の $g$, $h\in G$ と任意の $x\in X$ に対して, $(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x)$ が成り立つ.

またこのとき, 上の写像を $G$ の $X$ への作用という. さらに, $G$ を $X$ の変換群 (transformation group), $X$ を $G$ 集合 ($G$-set) という.

[注意] 「$G$ が $X$ に作用する」ことを英語では「$G$ acts on $X$」「$G$ operates on $X$」などという. また, 「$G$ の $X$ への作用」は英語で「action of $G$ on $X$」「operation of $G$ on $X$」などという.

[例] $G$ を群, $X$ を集合とする. すべての $(g, x)\in G\times X$ に対して $g\cdot x = x$ とおくことによって作用を定めることにより, $G$ は $X$ に作用する. この作用を自明な作用 (trivial action) という.

$G$ を群, $X$, $X'$ を $G$ 集合とする. $G$ の $X$ への作用と $X'$ への作用とが同値 (equivalent) であるとは, 全単射 $\phi:X\rightarrow X'$ が存在して, 任意の $g\in G$ と任意の $x\in X$ に対して $$ \phi(g\cdot x) = g\cdot\phi(x) $$ が成り立つときにいう.

軌道

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. $G$ 集合 $X$ の $2$ つの元 $x$, $y$ が同値 (equivalent) あるいは $G$ 同値 ($G$-equivalent) であるとは, ある $g\in G$ が存在して $g\cdot x = y$ を満たすときにいう. これは $X$ における同値関係である. $x\in X$ が属する同値類 $$ G\cdot x = \{ g\cdot x \mid g\in G \} $$ を $x$ の軌道 (orbit) あるいは $G$ 軌道 ($G$-orbit) という.

群 $G$ が集合 $X$ の上に推移的に作用する (acts transitively) とは, 軌道がただ $1$ つ存在するときにいう.

[注意] 推移的であることを, 可移的 (かいてき), 可遷的 (かせんてき) ともいう.

[例] $G$ を群, $H$ を $G$ の部分群, $G/H$ を $G$ の $H$ による左剰余類 $aH$ ($a\in G$) 全体からなる集合とする. 写像 $$ G\times G/H\rightarrow G/H,\quad (g, aH)\mapsto gaH $$ は $G$ の $G/H$ への推移的な作用である.

[命題] 群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. このとき, 次の $4$ つの条件は同値である.

(i) $G$ は $X$ の上に推移的に作用する.

(ii) 任意の $x$, $y\in X$ に対して, ある $g\in G$ が存在して, $g\cdot x = y$ が成り立つ.

(iii) 任意の $x\in X$ に対して, $G\cdot x=X$ が成り立つ.

(iv) ある $x\in X$ が存在して, $G\cdot x=X$ が成り立つ.

固定群

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. $x\in X$ に対して, $x$ を固定するような $G$ の元の全体 $$ G_{x} = \{ g\in G \mid g\cdot x = x \} $$ は $G$ の部分群である. $G_{x}$ を $x$ の固定群という.

[注意] 固定群は安定化部分群, 等方部分群とも呼ばれる. 固定群, 安定化部分群のことを英語では stabilizer といい, 等方部分群ことを英語では isotopy group という.

[命題] 群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. $x\in X$, $g\in G$ とする. このとき, $G_{gx} = gG_{x}g^{-1}$ が成り立つ.

[定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)] 群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. $x\in X$ とし, $G/G_{x}$ を $G$ の $G_{x}$ による左剰余類全体からなる集合とする. このとき, 写像 $$ G/G_{x}\rightarrow G\cdot x,\quad gG_{x}\mapsto g\cdot x $$ は全単射であり, $G$ の $G\cdot x$ への作用と $G/G_{x}$ への作用とは同値である.

[系] 有限群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. $x\in X$ とする. このとき, $x$ の軌道 $G\cdot x$ の位数は $G$ における $G_{x}$ の指数に一致する. すなわち, $$ \lvert G\cdot x\rvert = (G:G_{x}) = \frac{\lvert G\rvert}{\lvert G_{x}\rvert} $$ が成り立つ. 特に, $G\cdot x$ は有限集合である.

[系] すべての推移的な作用は, ある左剰余類全体の集合への作用に同値である. 詳しくいうと, 群 $G$ が集合 $X$ に推移的に作用しているとし, $x\in X$ とし, $G/G_{x}$ を $G$ の $G_{x}$ による左剰余類全体からなる集合とする. このとき, $$ G/G_{x}\rightarrow X,\quad gG_{x}\mapsto g\cdot x $$ は全単射であり, $G$ の $X$ への作用と $G/G_{x}$ への作用とは同値である.

有限群 $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとし, $$ \{G\cdot x_{1},\,G\cdot x_{2},\,\ldots,\,G\cdot x_{k}\} $$ を軌道の全体 (=$G$ 集合における同値関係で類別した同値類の全体) とする. このとき, $$ X = \bigcup_{i=1}^{k}G\cdot x_{i}\quad (\mbox{集合の直和}) $$ であるから, $$ \lvert X\rvert = \sum_{i=1}^{k}\lvert G\cdot x_{i}\rvert = \sum_{i=1}^{k}(G : G_{x_{i}}) $$ が成り立つ. この等式を軌道分解等式 (orbit decomposition formula) という.

置換表現

集合 $X$ から $X$ 自身への全単射を $X$ の置換 (permutation) という. また, $X$ の置換の全体からなる, 写像の合成を積とする群を $X$ の対称群 (symmetric group) といい, $S_{X}$ で表す.

群 $G$ の集合 $X$ への作用が与えられたとき, 各 $g\in G$ に対して, 写像 $$ \varphi(g):X\rightarrow X,\quad x\mapsto g\cdot x $$ は全単射, したがって $X$ の置換である. そして, 準同型写像 $$ \varphi: G\rightarrow S_{X},\quad g\mapsto\varphi(g) $$ が定まる. この $\varphi$ を群 $G$ の置換表現 (permutation representation) という. 逆に, 準同型写像 $\varphi:G\rightarrow S_{X}$ が与えられたとき, $$ G\times X\rightarrow X,\quad (g,\,x)\mapsto \bigl(\varphi(g)\bigr)(x) $$ とおくことにより, $G$ の $X$ への作用が定まる.

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき, $$ \bigcap_{x\in X}G_{x} = \{g\in G \mid g\cdot x = x\;(\forall x\in X)\} $$ を作用の核 (kernel) という. これは, $G$ の作用から定まる $G$ の置換表現 $\varphi$ の核 $\ker(\varphi)$ に一致する.

群 $G$ が集合 $X$ の上に忠実に作用する (acts faithfully) とは, 作用の核が $G$ の単位元 $1$ のみからなる $1$ 元集合 $\{1\}$ に等しいときにいう.

[例] $G$ を群, $H$ を $G$ の部分群とする. 写像 $$ H\times G\rightarrow G,\quad (h, x) \mapsto hx $$ は $H$ の $G$ への忠実な作用である. $x$ の軌道は右剰余類 $Hx$ である.

[命題] 群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. このとき, 次の $4$ つの条件は同値である.

(i) $G$ は $X$ の上に忠実に作用する.

(ii) 作用から定まる置換表現は単射である.

(iii) 任意の $g\in G$ に対して, $$ g\cdot x = x\;(\forall x\in X) \Longrightarrow g = 1 $$ が成り立つ.

(iv) 任意の $g$, $h\in G$ に対して, $$ g\cdot x = h\cdot x\;(\forall x\in X) \Longrightarrow g=h $$ が成り立つ.

固定点集合

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする. $g\in G$ に対して, $X$ の部分集合 $$ X^{g} = \{x\in X \mid g\cdot x = x\} $$ を $g$ の固定点集合 (fixed point set) という. また, $G$ の部分集合 $H$ に対して, $X$ の部分集合 $$ X^{H} = \{x\in X \mid h\cdot x = x\;(\forall h\in H)\} $$ を $H$ の固定点集合という. 特に, $G$ の固定点集合 $X^{G}$ の元を固定点 (fixed point) という.

[命題] 群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし, $x\in X$ とする. このとき, 次の $3$ つの条件は同値である.

(i) $x$ は固定点である. すなわち, $x\in X^{G}$.

(ii) $G\cdot x = \{x\}$.

(iii) $G_{x}=G$.

[命題] 群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし, $g$, $h\in G$ とする. このとき, $X^{ghg^{-1}}=g\cdot X^{h}$ が成り立つ. ただし, $g\cdot X^{h}=\{g\cdot x'\mid x'\in X^{h}\}$ である.

[定理] $X$ を有限集合, $S_{X}$ を $X$ の対称群, $G$ を $S_{X}$ の部分群とする. このとき, $$ \sum_{g\in G}\lvert X^{g}\rvert = \sum_{x\in X}\lvert G_{x}\rvert $$ が成り立つ.

[定理 (Cauchy-Frobenius Theorem)] $X$ を有限集合, $S_{X}$ を $X$ の対称群, $G$ を $S_{X}$ の部分群とする. このとき, 軌道の個数は $$ \frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}\lvert X^{g}\rvert $$ に等しい.

[注意] Cauchy-Frobenius Theorem は, Burnside's Lemma と呼ばれることもある.

類等式

$G$ を群とする. 写像 $$ G\times G\rightarrow G,\quad (g, x) \mapsto gxg^{-1} $$ は $G$ の $G$ 自身への作用である. $G$ の $2$ つの元が同値であるための必要十分条件は, それらが共役なことである. よって, 軌道 (=$G$ 集合における同値関係で類別した同値類) は共役類そのものである. 元 $x\in G$ の固定群 $G_{x}$ は $x$ の中心化群 (centralizer) $$ Z_{G}(x) = \{ g\in G \mid gx = xg \} $$ である. 作用の核は $G$ の中心 (center) $$ Z(G) = \bigcap_{x\in G}Z_{G}(x) = \{g\in G \mid gx=xg\;(\forall x\in G)\} $$ である.

さて, 任意の $x\in X$ に対して, $x\in X^{G}$ であることは $G\cdot x = \{x\}$ (すなわち, 軌道が $1$ 元集合) であることと同値である. また, $X^{G}$ は $Z(G)$ に集合として一致する. $G$ が有限群のとき, $2$ つ以上の元を含む軌道を $G\cdot x_{1}$, $\ldots$, $G\cdot x_{s}$ とすれば, 軌道分解等式より, \begin{align*} \lvert G\rvert &= \lvert X^{G}\rvert + \sum_{i=1}^{s}(G:G_{x_{i}}) \\ &= \lvert Z(G)\rvert + \sum_{i=1}^{s}(G:Z_{G}(x_{i})) \end{align*} が得られる. この等式を $G$ の類等式 (class equation or class formula) という.

[注意] 群 $G$ の元 $x$ の中心化群 $Z_{G}(x)$ と, $x$ の正規化群 $$ N_{G}(x)=\{ g\in G \mid gxg^{-1}=x \} $$ は等しい. そのため, 類等式において, 中心化群の代わりに正規化群が用いられる場合もある.

【theme : 数学
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