meta-abelianとmeta-cyclic

群が meta-abelian あるいは meta-cyclic であることの定義.

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meta-abelian

群 $G$ が meta-abelian であるとは, $G$ の正規部分群 $N$ が存在して, $N$ と $G/N$ の両方が Abel 群であるときにいう. このことは, $G$ の長さ $2$ の正規列 (normal chain) $$  G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}=\{e\} $$ が存在して, $G/G_{1}$, $G_{1}/G_{2}(=G_{1})$ がともに Abel 群であることと同値である. ここで, $e$ は $G$ の単位元である. 特に, meta-abelian な群は可解群 (solvable group) である.

[例] Abel 群は meta-abelian である.

[命題] $G$ を群とする. このとき, 次の $2$ つの条件は同値である.

(i) $G$ は meta-abelian である.

(ii) $G$ の交換子群 (commutator subgroup) は Abel 群である

[証明] (i)$\Rightarrow$(ii) $G$ の交換子群を $D(G)$ で表す. $G$ は meta-abelian だから, ある正規部分群 $N$ が存在して, $N$ と $G/N$ の両方が Abel 群である. このとき, $D(G)\subseteq N$ となり, $D(G)$ も Abel 群である.

(ii)$\Rightarrow$(i) 仮定より $D(G)$ は Abel 群である. また, $D(G)$ は $G$ の正規部分群であり, $G/D(G)$ は Abel 群である. (証明終)

[例] $4$ 次対称群 $S_{4}$ は可解群であるが, meta-abelian ではない. 実際, $S_{4}$ の交換子群は $4$ 次交代群 $A_{4}$ であり, $A_{4}$ は Abel 群ではない.

meta-cyclic

群 $G$ が meta-cyclic であるとは, $G$ の正規部分群 $N$ が存在して, $N$ と $G/N$ の両方が巡回群であるときにいう. meta-cyclic ならば meta-abelian である.

meta-cyclic な群は超可解群 (supersolvable group) である.

[例] 巡回群は meta-cyclic である.

[例] 二面体群 (diheadral group) は meta-cyclic である. 実際, 位数 $2n$ の二面体群は位数 $n$ の巡回部分群をもつ (指数 $2$ の部分群は必ず正規であることに注意).

[注意] 群 $G$ の交換子群 $D(G)$ が巡回群であっても, 剰余群 $G/D(G)$ が巡回群になるとは限らない. 例えば, 位数 $8$ の二面体群 $D_{8}=\langle \sigma,\,\tau \mid \sigma^{4}=\tau^{2}=e,\,\sigma\tau=\tau\sigma^{-1} \rangle$ の交換子群 $D(D_{8})$ は $\sigma^{2}$ によって生成される位数 $2$ の巡回群であり, $D_{8}/D(D_{8})$ は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に同型である.

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