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Frobenius群

Frobenius 群の定義.

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Frobenius 群

$G$ を有限群とする. $G$ の部分群 $H$ が次の条件を満たすとき, $H$ を $G$ の Frobenius 補群 (Frobenius complement) あるいは Frobenius 部分群 (Frobenius subgroup) という:

(i) $H$ は $G$ の自明でない真の部分群 (non-trivial proper subgroup) である. すなわち, $\{1_{G}\}\subsetneq H\subsetneq G$. ただし, $1_{G}$ は $G$ の単位元.

(ii) 任意の $g\in G$ に対して, $$ g\not\in H \Longrightarrow H\cap gHg^{-1} = \{1_{G}\} $$ が成り立つ.

[定理] $G$ を有限群とする. このとき, $G$ の Frobenius 補群と共役な $G$ の部分群は $G$ の Frobenius 補群である. また, $G$ のすべての Frobenius 補群は互いに共役である.

有限群 $G$ が Frobenius 群であるとは, $G$ の Frobenius 補群が存在するときにいう.

[命題] $G$ を有限群とし, $X$ を集合で $\lvert X\rvert\geq 2$ なるものとする. $G$ は $X$ に推移的に作用しているとする. 各 $x\in X$ に対して, $G_{x}$ を $x$ の固定群とする. $x_{0}\in X$ を取って固定する. このとき, $G$ が $G_{x_{0}}$ を Frobenius 補群とする Frobenius 群であるための必要十分条件は, 次の $2$ つの条件が成り立つことである.

(i) 任意の $x\in X$ に対して, $G_{x}\neq\{1_{G}\}$.

(ii) 任意の $x$, $y\in X$ に対して, $x\neq y$ ならば $G_{x}\cap G_{y}=\{1_{G}\}$.

[証明] $H=G_{x_{0}}$ とおく. $G$ が $H$ を Frobenius 補群とする Frobenius 群であるとする. $H$ は自明な部分群でないから, $H\neq\{1_{G}\}$ である. $x\in X$ を任意にとると, $G$ の $X$ への作用が推移的であることから, ある $g\in G$ が存在して, $x = g\cdot x_{0}$. このとき, $$ G_{x} = G_{g\cdot x_{0}} = gHg^{-1}\neq\{1_{G}\}. $$ また, 任意の異なる $x$, $y\in X$ に対して, $x=s\cdot x_{0}$, $y=t\cdot x_{0}$ ($s$, $t\in G$) と表すと, $$ x\neq y\Longrightarrow sx_{0}\neq tx_{0} \Longrightarrow (s^{-1}t)x_{0}\neq x_{0}\Longrightarrow s^{-1}t\not\in H $$ であるから, $$ G_{x}\cap G_{y} = sHs^{-1}\cap tHt^{-1} = s\bigl(H\cap (s^{-1}t)H(s^{-1}t)^{-1}\bigr)s^{-1} = \{1_{G}\}. $$ 逆に, 条件 (i), (ii) が成り立つと仮定する. 条件 (i) より $H$ は $G$ の自明でない部分群である. $\lvert X\rvert\geq 2$ であるから, ある $y_{0}\in X$ が存在して $x_{0}\neq y_{0}$ を満たす. $G$ は $X$ に推移的に作用するから, ある$t\in G$ が存在して $y_{0}=t\cdot x_{0}$ が成り立つ. もし仮に $H=G$ とすれば, 条件 (ii) より, $$ \{1_{G}\} = G_{x_{0}}\cap G_{y_{0}} = H\cap tHt^{-1} = H. $$ これは矛盾である. ゆえに, $H$ は $G$ の真の部分群である. また, $g\in G\setminus H$ (すなわち, $g\in G$ かつ $g\not\in H$) とすると, $x_{0}\neq g\cdot x_{0}$ であるから, 条件 (ii) より $$ H\cap gHg^{-1} = G_{x_{0}}\cap G_{g\cdot x_{0}} = \{1_{G}\} $$ となる. (証明終)

$G$ を Frobenius 群, $H$ を $G$ の Frobenius 補群とする. $H$ のどの共役にも入らない元の全体に単位元を加えた集合 $$ N = \left(G\setminus\bigcup_{g\in G}gHg^{-1}\right) \cup \{1_{G}\} $$ を $G$ の Frobenius 核 (Frobenius kernel) という.

[Frobenius の定理] Frobenius 群 $G$ の Frobenius 核は $G$ の正規部分群である.

[定理] Frobenius 群 $G$ の Frobenius 核は $G$ に対して一意的に定まる.

[定理] $G$ を Frobenius 群, $H$ を Frobenius 補群, $N$ を $G$ の Frobenius 核とする. このとき, $G$ は $H$ と $N$ の半直積である. すなわち, $N$ は $G$ の正規部分群であり, $$ G=HN,\quad H\cap N=\{1_{G}\} $$ が成り立つ.

[定理] Frobenius 群 の Frobenius 核は冪零群 (nilpotent group) である.

[定理] $G$ を有限群とする. このとき, $G$ が Frobenius 群であるための必要十分条件は, 自明でない真の正規部分群 $N$ が存在して, 任意の $x\in N$ に対して, $$ x\neq 1_{G}\Longrightarrow Z_{G}(x)\subseteq N $$ を満たすことである. ここで, $Z_{G}(x)$ は $G$ における $x$ の中心化群 (centralizer) である. また, この条件が成り立つとき, $N$ は $G$ の Frobenius 核である.

[例] $3$ 次対称群 $S_{3}$ は Frobenius 群のうちで位数が最小のものである. $H=\{1, (1\;2)\}$ が $S_{3}$ の Frobenius 補群であり, $N=A_{3}$ ($3$ 次交代群) が Frobenius 核である.

[例] $n\geq 3$ を奇数とする. このとき, 位数 $2n$ の二面体群 $D_{2n}$ は Frobenius 群であり, その Frobenius 補群の位数は $2$ である. なお, $n\geq 3$ を整数とするとき, 位数 $2n$ の二面体群が Frobenius 群であるための必要十分条件は $n$ が奇数であることが知られている.

[例] $4$ 次対称群 $S_{4}$ は Frobenius 群ではない. $4$ 次交代群 $A_{4}$ は Frobenius 群であり, $H=\{1, (1\;2\;3),\,(1\;3\;2)\}$ が Frobenius 補群, $N=\{1,\,(1\;2)(3\;4),\,(1\;3)(2\;4),\,(1\;4)(2\;3)\}$ が Frobenius 核である.

[例] $5$ 次対称群 $S_{5}$ において $(1\;2\;3\;4\;5)$ と $(2\;3\;5\;4)$ により生成される部分群は位数 $20$ のFrobenius 群である. これは位数 $20$ の二面体群と同型でない非 Abel 群である.

参考文献

  • 服部昭: 群とその表現, 共立出版, 1967.
  • 鈴木通夫: 群論(下), 岩波書店, 1978.
  • H. Kurzweil, B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups. An Introduction, Springer-Verlag, New York, 2004.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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