連続全単射が開写像であることと閉写像であることは同値である

位相数学の問題。

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問題と解答例

[問題] $X$, $Y$ を位相空間とし, $f:X\rightarrow Y$ を連続全単射とする. このとき, $f$ が開写像であることと閉写像であることは同値である. このことを証明せよ.

[解答例] $f$ が開写像であるとする. $A$ を $X$ の閉集合とする. このとき, $X\setminus A$ は $X$ の開集合である. $f$ は開写像だから, $f(X\setminus A)$ は $Y$ の開集合である. $f$ は単射だから, $f(X\setminus A) = f(X)\setminus f(A)$. 一方, $f$ は全射だから, $f(X)=Y$. ゆえに, $f(X\setminus A) = Y\setminus f(A)$ となり, $Y\setminus f(A)$ は $Y$ の開集合である. よって, $f(A)$ は $Y$ の閉集合である. したがって, $f$ は閉写像である. 逆も同様. (解答終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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