スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像は閉写像である

位相数学の問題。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

問題と解答例

[問題] $X$ をコンパクト空間, $Y$ をハウスドルフ空間とし, $f:X\rightarrow Y$ を連続写像とする. このとき, $f$ は閉写像である. さらに, $f$ が全単射ならば同相写像である. このことを証明せよ.

[解答例] $A$ を $X$ の閉集合とする. コンパクト空間の閉集合はコンパクトだから, $A$ は $X$ のコンパクト集合である. また, コンパクト集合の連続写像による像はコンパクト集合だから, $f$ による $A$ の像 $f(A)$ は $Y$ のコンパクト集合である. さらに, ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合だから, $f(A)$ は $Y$ の閉集合である. したがって, $f$ は閉写像である. さらに, $f$ が全単射ならば, $f$ が閉写像であることと開写像であることは同値であるから, $f$ は同相写像である. (解答終)

関連記事

よしいずの雑記帳:連続全単射が開写像であることと閉写像であることは同値である

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。