ポーカーの役の場合の数(ワイルドカード1枚使用)

ワイルドカードを 1 枚使用したときの, ポーカーの役の場合の数を計算してみた.

すべての場合の数は, 53 枚のカードから 5 枚を選び出す場合の数だから, 53C5 = 2869685 通りである. このことと以下の計算結果を用いれば, それぞれの役の確率が計算できる.

「数字の並びをすべて列挙したあと, 各々の数字の並びに対してスートを割り当てる」というのが, 以下で行う場合の数の計算における基本方針.

記号の説明

A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K はカードの数字を表す.

S,H,D,C はスートを表し, それぞれ「スペード」「ハート」「ダイヤ」「クラブ」を意味する.

W はワイルドカードを表す.

数字を表す変数として a,b,c,d,e を用いる.

ポーカーの役とその場合の数

ファイブカード

同じ数字のカードが 5 枚.

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは,

[A,A,A,A,W],
[2,2,2,2,W],
……,
[K,K,K,K,W]

の 13 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は,

[S,H,D,C,-]

の 1 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は 13*1=13 通り.

ワイルドカードを使用しなければファイブカードは実現不可能なので, ワイルドカードを含まないときの場合の数は 0 通り.

したがって, 求める場合の数は 13+0=13 通り.

ロイヤルフラッシュ

5 枚のカードが 10,J,Q,K,A の数字で, かつスートがすべて同じ. ロイヤルストレートフラッシュともいう.

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは,

[10,J,Q,K,W],[10,J,Q,A,W],[10,J,K,A,W],[10,Q,K,A,W],
[J,Q,K,A,W]

の 5 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は,

[S,S,S,S,-],
[H,H,H,H,-],
[D,D,D,D,-],
[C,C,C,C,-],

の 4 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は 5*4=20 通り.

ワイルドカードが含まれないときの場合の数は 4 通り (関連記事を参照. 以下同様).

したがって, 求める場合の数は 20+4=24 通り.

ストレートフラッシュ

5 枚のカードの数字が連続していて, かつスートがすべて同じ (ロイヤルフラッシュを除く).

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは,

[A,2,3,4,W],[A,2,3,5,W],[A,2,4,5,W],[A,3,4,5,W],
[2,3,4,5,W],[2,3,4,6,W],[2,3,5,6,W],[2,4,5,6,W],
……,
[9,10,J,Q,W],[9,10,J,K,W],[9,10,Q,K,W],[9,J,Q,K,W]

の 36 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は,

[S,S,S,S,-],
[H,H,H,H,-],
[D,D,D,D,-],
[C,C,C,C,-]

の 4 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は 36*4=144 通り.

ワイルドカードを含まないときの場合の数は 36 通り.

したがって, 求める場合の数は 144+36=180 通り.

フォーカード

同じ数字のカードが 4 枚.

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは,

[A,A,A,a,W] (a≠A) なる型が 12 通り,
[2,2,2,a,W] (a≠2) なる型が 12 通り,
……,
[K,K,K,a,W] (a≠K) なる型が 12 通り.

よって, 13*12=156 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は, 4C3*4=16 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は 156*16=2496 通り.

ワイルドカードを含まないときの場合の数は 624 通り.

したがって, 求める場合の数は 2496+624=3120 通り.

フルハウス

スリーカードとワンペアのセット.

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは

[a,a,b,b,W] (a,b は異なる数字)

なる型であり, その個数は 13 個の数字から 2 個の数字を選び出す場合の数に等しいので, 13C2=78 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は 4C2*4C2=36 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は 78*36=2808 通り.

ワイルドカードを含まないときの場合の数は 3744 通り.

したがって, 求める場合の数は 2808+3744 = 6552 通り.

フラッシュ

スートがすべて同じ (ロイヤルフラッシュ, ストレートフラッシュを除く).

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは

[a,b,c,d,W] (a,b,c,d は異なる数字)

なる型であり, その個数は 13 個の数字から 4 個の数字を選び出す場合の数に等しいので, 13C4=715 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は

[S,S,S,S,-],
[H,H,H,H,-],
[D,D,D,D,-],
[C,C,C,C,-]

の 4 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は, ロイヤルフラッシュ, ストレートフラッシュを除くと, 715*4-20-144=2696 通り.

ワイルドカードを含まないときの場合の数は 5108 通り.

したがって, 求める場合の数は 2696+5108=7804 通り.

ストレート

5 枚のカードの数字が連続している (ロイヤルフラッシュ, ストレートフラッシュを除く).

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは,

[A,2,3,4,W],[A,2,3,5,W],[A,2,4,5,W],[A,3,4,5,W],
[2,3,4,5,W],[2,3,4,6,W],[2,3,5,6,W],[2,4,5,6,W],
……,
[9,10,J,Q,W],[9,10,J,K,W],[9,10,Q,K,W],[9,J,Q,K,W],
[10,J,Q,K,W],[10,J,Q,A,W],[10,J,K,A,W],[10,Q,K,A,W],
[J,Q,K,A,W]

の 41 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は, ワイルドカード以外の 4 枚の異なる数字のカードにスートを割り当てる場合の数であるから, 4*4*4*4=256 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は, ロイヤルフラッシュ, ストレートフラッシュを除くと, 41*256-20-144=10332 通り.

ワイルドカードを含まないときの場合の数は 10200 通り.

したがって, 求める場合の数は 10332+10200=20532 通り.

スリーカード

同じ数字のカードが 3 枚 1 組 (フルハウスを除く).

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは,

[A,A,a,b,W] (a,b は異なる数字,a≠A,b≠A) なる型が 12C2=66 通り,
[2,2,a,b,W] (a,b は異なる数字,a≠2,b≠2) なる型が 12C2=66 通り,
……,
[K,K,a,b,W] (a,b は異なる数字,a≠K,b≠K) なる型が 12C2=66 通り.

よって, 13*66=858 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は, 4C2*4*4=96 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は, 858*96=82368 通り.

ワイルドカードを含まないときの場合の数は 54912 通り.

したがって, 求める場合の数は 82368+54912=137280 通り.

ツーペア

同じ数字のカードが 2 枚ずつ 2 組.

ワイルドカードを含むツーペアは存在しない. なぜなら, ワイルドカードを含むとき, [a,b,c,d,W] なる型であるが, a,b,c,d の数字がすべて異なればロイヤルフラッシュ, ストレートフラッシュ, フラッシュ, ストレート, ワンペアのいずれかであり, a,b,c,d のうち等しい 2 つの数字が 1 組あればスリーペア, 2組あればフルハウスである. 3 つの数字が等しければフォーカード, 4 つの数字が等しければファイブカードである. いずれにせよ, ツーペアにならない.

したがって, 求める場合の数は, ワイルドカードを含まないときの場合の数に一致し, 123552 通りである.

ワンペア

同じ数字のカードが 2 枚 1 組.

ワイルドカードを含むとき, 数字の並びは

[a,b,c,d,W] (a,b,c,d は異なる数字)

なる型であり, その個数は 13 個の数字から 4 個の数字を選び出す場合の数に等しいから, 13C4=715 通り.

各々の数字の並びに対するスートの割り当て方は, ワイルドカード以外の 4 枚の異なる数字のカードにスートを割り当てる場合の数であるから, 4*4*4*4=256 通り.

ゆえに, ワイルドカードを含むときの場合の数は, ロイヤルフラッシュ, ストレートフラッシュ, フラッシュ, ストレートの場合の数を除くと, 715*256-20-144-2696-10332=169848 通り.

ワイルドカードを含まないときの場合の数は 1098240 通り.

したがって, 求める場合の数は 169848+1098240=1268088 通り.

ノーペア

上記の役のどれとも一致しない.

すべての場合の数は, 53 枚のカードから 5 枚を選び出す場合の数だから, 53C5 = 2869685 通り.

したがって, 求める場合の数は, 2869685-13-24-180-3120-6552-7804-20532-137280-123552-1268088=1302540 通り.

あるいは, ワイルドカードを含むときは決してノーペアにならないことから, ノーペアの場合の数は, ワイルドカードを含まないときの場合の数に一致し, 1302540 通りである.

ワイルドカードを含む場合の数

ワイルドカードを含む場合の数は, ワイルドカードでない 52 枚のカードから 4 枚選び出す場合の数に一致するから, 52C4 = 270725 通りである. これは, それぞれの役においてワイルドカードを含む場合の数をすべて合計したものに一致する. 実際, 13+20+144+2496+2808+2696+10332+82368+0+169848+0=270725 である.

ワイルドカードを含まない場合の数は, ワイルドカードでない 52 枚のカードから 5 枚選び出す場合の数に一致するから, 52C5 = 2598960 通りである.

また, ワイルドカードを含む場合の数は, すべての場合の数からワイルドカードを含まない場合の数を引いたものである. 実際に計算してみると, 53C5-52C5=270725 となっている.

確率を求めるには

それぞれの役の確率は, (役の場合の数)/(すべての場合の数) で計算できる.

例えば, フルハウスの確率は 6552/2869685≒0.00228 である.

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よしいずの雑記帳:ポーカーの役の場合の数

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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