有限部分群の位数についての命題(別証2)

有限部分群の位数についての命題。別証 2。

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[命題] $G$ を群, $H$, $K$ を $G$ の有限部分群とする. このとき, $$ \lvert H\rvert\cdot\lvert K\rvert = \lvert HK\rvert\cdot\lvert H\cap K\rvert $$ が成り立つ.

[証明] $H\times K$ における二項関係 $\sim$ を, $(h,\,k)$, $(h',\,k')\in H\times K$ に対し $$ (h,\,k)\sim (h',\,k')\Longleftrightarrow hk=h'k' $$ と定めると, $\sim$ は $H\times K$ における同値関係である (反射律, 対称律, 推移律の成り立つことが容易に確かめられる).

各 $(h,\,k)\in H\times K$ に対し, $\sim$ に関する $(h,\,k)$ の同値類を $C(h,\,k)$ で表す: $$ C(h,\, k) = \{ (h',\,k')\in H\times K \mid (h,\,k)\sim (h',\,k') \}. $$ このとき, 全単射 $$ f:HK\rightarrow H\times K/\sim,\quad hk\mapsto C(h, k) $$ が定まる. したがって特に, \begin{equation} \lvert HK\rvert = \lvert H\times K/\sim\rvert \tag{1} \end{equation} が成り立つ. ここで, $H\times K/\sim$ は $H\times K$ の $\sim$ による商集合である. 実際, まず, $HK$ のすべての元は $hk$ ($h\in H$, $k\in K$) の形で表される. $h$, $h'\in H$, $k$, $k'\in K$ に対して, \begin{align*} hk=hk' &\Longleftrightarrow (h,\,k)\sim(h',\,k') \\ &\Longleftrightarrow C(h,\,k)=C(h',\,k') \\ &\Longleftrightarrow f(hk)=f(h'k') \end{align*} であるから, $f$ は well-defined かつ単射である. さらに, $C$ を $H\times K/\sim$ の元とすると, $C$ は $\sim$に関する同値類である. その代表元 $(h,\,k)\in H\times K$ をとると, $$ C = C(h,\,k) = f(hk),\quad hk\in HK. $$ よって, $f$ は全射である.

一方で, 任意の $(h,\,k)\in H\times K$ に対して, 全単射 $$ g_{h,k}:H\cap K\rightarrow C(h,\,k),\quad a\mapsto (ha^{-1},\,ak) $$ が定まる. したがって特に, \begin{equation} \lvert H\cap K\rvert = \lvert C(h,\,k)\rvert \tag{2} \end{equation} が成り立つ. 実際, 任意の $a\in H\cap K$ に対して, $H$ が $G$ の部分群であることと $H\cap K\subseteq H$ より $ha^{-1}\in H$. 同様に, $K$ が $G$ の部分群であることと $H\cap K\subseteq K$ より $ak\in K$. ゆえに, $(ha^{-1},\,ak)\in H\times K$ である. さらに, $(ha^{-1})(ak) = hk$ であるから, $(ha^{-1},\,ak)\in C(h,\,k)$. よって, 写像 $g_{h,k}$ が定まる. 次に, $(h',\,k')\in C(h,\,k)$ とすると, $hk=h'k'$ であるから, $h'^{-1}h=k'k^{-1}$. これを $a$ とおく. $H$ は $G$ の部分群だから, $a=h'^{-1}h\in H$. 同様に, $K$ は $G$ の部分群だから, $a=k'k^{-1}\in K$. ゆえに, $a\in H\cap K$. また, $$ (h',\,k')=(ha^{-1},\,ak)=g_{h,k}(a). $$ よって, $g_{h,k}$ は全射である. さらに, $a$, $b\in H\cap K$ について, \begin{align*} g_{h,k}(a)=g_{h,k}(b) & \Longrightarrow (ha^{-1},\,ak) = (hb^{-1},\,bk) \\ & \Longrightarrow ha^{-1}=hb^{-1},\,ak=bk \\ & \Longrightarrow a=b. \end{align*} よって, $g_{h,k}$ は単射である.

$U$ を $H\times K/\sim$ の完全代表系とすると, $$ H\times K = \bigcup_{(h,k)\in U}C(h,\,k)\quad(\mbox{集合の直和}) $$ であり, かつ $$ \lvert U\rvert = \lvert H\times K/\sim\rvert $$ であるから, (1), (2) と合わせると, \begin{align*} \lvert H\rvert\cdot \lvert K\rvert &= \lvert H\times K\rvert \\ &= \sum_{(h,\,k)\in U}\lvert C(h,\,k)\rvert \\ &= \sum_{(h,\,k)\in U}\lvert H\cap K\rvert \\ &= \lvert U\rvert\cdot\lvert H\cap K\rvert \\ &= \lvert HK\rvert\cdot\lvert H\cap K\rvert \end{align*} が成り立つ. (証明終)

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