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四元数群の部分群はすべて正規である

Abel 群の部分群は必ず正規部分群である. しかしながら, すべての部分群が正規部分群であるような群は必ずしも Abel 群とは限らない.

四元数群が, すべての部分群が正規部分群であるような非 Abel 群の例になっている.

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

四元数群の定義

一般線形群 $GL_{2}(\mathbb{C})$ の元 $1$, $i$, $j$, $k$ を $$ 1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad i = \begin{bmatrix} \sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{bmatrix},\quad j = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad k = \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} & 0 \end{bmatrix}\quad $$ とおくことにより定め, $$ Q_{8} = \{ \pm 1,\,\pm i,\,\pm j,\,\pm k \} $$ とおく. $Q_{8}$ は $GL_{2}(\mathbb{C})$ の部分群である. この $Q_{8}$ を四元数群 (しげんすうぐん, quaternion group) という. $\lvert Q_{8}\rvert=8$ である. $Q_{8}$ の元をその位数で分類すると次のようになる.

・位数 $4$ の元 ($6$ 個): $\pm i$, $\pm j$, $\pm k$.

・位数 $2$ の元 ($1$ 個): $-1$.

・位数 $1$ の元 ($1$ 個): $1$.

また, \begin{align*} & i^{4}=j^{4}=k^{4}=1, \\ & i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1, \\ &ij=k,\quad jk=i,\quad ki=j, \\ &ji=-k,\quad kj=-i,\quad ik=-j \end{align*} が成り立つ. $ij\neq ji$ なので, $Q_{8}$ は非可換である.

四元数群の部分群

$Q_{8}$ のすべての部分群を列挙すると, 次のようになる.

・位数 $8$ の部分群 ($1$ 個): $Q_{8}$.

・位数 $4$ の部分群 ($3$ 個): $\langle i\rangle$, $\langle j\rangle$, $\langle k\rangle$.

・位数 $2$ の部分群 ($1$ 個): $\langle -1\rangle$.

・位数 $1$ の部分群 ($1$ 個): $\{1\}$.

実際, まず, $Q_{8}$ の部分群の位数は $Q_{8}$ の位数の約数である. 位数 $2$ の部分群は必ず位数 $2$ の元によって生成される巡回群であるが, 位数 $2$ の元は $-1$ だけなので, 位数 $2$ の部分群は $\langle -1\rangle$ しかありえない. 位数 $4$ の部分群は巡回群であるかまたは位数 $2$ の巡回群の直積のどちらかであるが, 後者は位数 $2$ の元を $2$ つ以上もつので $Q_{8}$ の部分群にはなりえない. よって, 位数 $4$ の部分群は必ず位数 $4$ の元によって生成される巡回群である. 位数 $4$ の元は $\pm i$, $\pm j$, $\pm k$ の $6$ 個であり, 各々の元によって生成されるものが $Q_{8}$ の位数 $4$ の部分群のすべてであるが, $\langle i\rangle=\langle -i\rangle$, $\langle j\rangle=\langle -j\rangle$, $\langle k\rangle=\langle -k\rangle$ であるから, $\langle i\rangle$, $\langle j\rangle$, $\langle k\rangle$ が位数 $4$ の部分群のすべてである.

四元数群の部分群はすべて正規である

最初に, $Q_{8}$ 自身と $\{1\}$ は $Q_{8}$ の自明な正規部分群である.

一般に, 群 $G$ の部分群 $H$ が正規部分群であるための必要十分条件は, 任意の $g\in G$ および任意の $x\in H$ に対して $gxg^{-1}\in H$ となることである. さて, \begin{align*} &(\pm 1)\cdot i\cdot (\pm 1)^{-1} = i \in\langle i\rangle, \\ &(\pm i)\cdot i\cdot (\pm i)^{-1} = i \in\langle i\rangle, \\ &(\pm j)\cdot i\cdot (\pm j)^{-1} = -i \in\langle i\rangle, \\ &(\pm k)\cdot i\cdot (\pm k)^{-1} = -i \in\langle i\rangle. \end{align*} ただし, $\pm$ は複号同順である. さらに, 各 $n=0$, $1$, $2$, $3$ について, 任意の $g\in Q_{8}$ に対して, $$ g\,i^{n}\,g^{-1}=(g\,i\,g^{-1})^{n}\in\langle i\rangle. $$ したがって, $\langle i\rangle$ は $Q_{8}$ の正規部分群である. 他の部分群が正規であることも同様にして確かめられる. こうして, $Q_{8}$ のすべての部分群が正規部分群であることが証明される.

上の計算の過程で共役類 (=群を元の共役による同値関係で類別したときの同値類) も求まるので, 結果を列挙しておく: $\{1\}$, $\{-1\}$, $\{i,\,-i\}$, $\{j,\,-j\}$, $\{k,\,-k\}$.

※ 指数 $2$ の部分群は必ず正規部分群であることが知られており, そのことを用いれば $\langle i\rangle$, $\langle j\rangle$, $\langle k\rangle$ が $Q_{8}$ の正規部分群であることは明らかである.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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