スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

位数4の群を素朴な方法で分類する

位数 4 の群を素朴な方法で分類する.

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

[定理] 位数 $4$ の群は, 巡回群または Klein の四元群に同型である.

[証明] $G$ を群とし, $\lvert G\rvert = 4$ であるとする.

$G$ が位数 $4$ の元をもつ場合: $c$ を $G$ の位数 $4$ の元とすると, $G$ は $c$ によって生成される巡回群である.

$G$ が位数 $4$ の元をもたない場合: $G$ の単位元以外の元の位数は $2$ である (注 1). $a\neq b$, $a\neq e$, $b\neq e$ なる $2$ つの元 $a$, $b\in G$ をとる. このとき, $ab\neq a$, $ab\neq b$, $ab\neq e$ である (注 2). よって, 集合として $$ G = \{e, a, b, ab\}. $$ また, $ba\neq a$, $ba\neq b$, $ba\neq e$ である (注3) から, $ab=ba$ でなければならない. 以上より, $G$ が Klein の四元群に同型であることがわかる. (証明終)

(注 1) $G$ の元の位数は, $\lvert G\rvert=4$ の約数であるから, $1$, $2$, $4$ のいずれかである. また, 位数 $1$ の元は単位元 $e$ しかない. ゆえに, $G$ が位数 $4$ の元をもたなければ, $G$ の $e$ 以外の元の位数は $2$ である.

(注 2) もし仮に $ab=a$ とすると, 両辺に左から $a^{-1}$ を乗じれば $b=e$ となり矛盾が生じる. もし仮に $ab=b$ とすると, 両辺に右から $b^{-1}$ を乗じれば $a=e$ となり矛盾が生じる. もし仮に $ab=e$ とすると, 両辺に左から $a$ を乗じれば $a^{2}b=a$ である. $a$ の位数は $2$ だから, $a^{2}=e$. よって, $b=a$ となり, 矛盾が生じる.

(注 3) (注 2) と同様の議論を行う.

関連 URL

MATHEMATICS.PDF:小さい位数の群の分類 (PDF ファイル)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。