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有限群の部分集合の共役集合の個数

有限群 G の部分集合 S について, S と共役な G の部分集合の個数は, S の正規化群の指数に等しい.

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

共役集合の個数

$G$ を群とする. $G$ の部分集合 $S$ と $G$ の元 $g$ に対して, $G$ の部分集合 $$ gSg^{-1} = \{gxg^{-1} \mid x\in S\} $$ を $S$ の $g$ による共役集合という. $S$ が $G$ の部分群ならば, $gSg^{-1}$ もまた $G$ の部分群であり, $S$ と同型である.

$G$ の部分集合 $S$, $S'$ について, $S'$ が $G$ において $S$ と共役 (conjugate) であるとは, ある $g\in G$ が存在して $S'=gSg^{-1}$ となるときにいう. またこのとき, $S'$ は $G$ における $S$ の共役集合であるという.

[定理] $G$ を群とし, $G$ の $N_{G}(S)$ による左剰余類の全体を $G/N_{G}(S)$ と書く. ただし, $N_{G}(S)$ は $S$ の正規化群である: $$ N_{G}(S)=\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\}. $$ また, $S$ の共役集合の全体からなる集合を $\mathcal{M}$ とおく: $$ \mathcal{M} = \{gSg^{-1}\mid g\in G\}. $$ このとき, 全単射 $$ f: G/N_{G}(S)\rightarrow\mathcal{M},\quad gN_{G}(S)\mapsto gSg^{-1} $$ が存在する.

[系] $G$ を有限群, $S$ を $G$ を部分集合とする. このとき, $G$ における $S$ の共役集合の個数は $(G:N_{G}(S))$ である.

共役類の元の個数

群 $G$ の元 $x$, $g$ に対して, $G$ の元 $gxg^{-1}$ を $x$ の $g$ による共役元という. $gxg^{-1}$ の位数は $x$ の位数と一致する.

$G$ の元 $x$, $x'$ について, $x'$ が $G$ において $x$ と共役 (conjugate) であるとは, ある $g\in G$ が存在して $x' = gxg^{-1}$ となるときにいう. またこのとき, $x'$ は $G$ における $x$ の共役元であるという.

$G$ における $x$ の共役元全体からなる $G$ の部分集合 $\{gxg^{-1}\mid g\in G\}$ を, $x$ を含む $G$ の共役類 (conjugacy class) という.

[系] $G$ を有限群, $x$ を $G$ の元とする. このとき, $x$ を含む $G$ の共役類の元の個数 (= $G$ における $x$ の共役元の個数) は $(G:N_{G}(x))$ である.

[証明] $x$ を含む $G$ の共役類と, $1$ 元集合 $\{x\}$ の $G$ における共役集合の全体との間には自明な $1$ 対 $1$ 対応があることに注意して, $S=\{x\}$ として上の系を適用せよ. (証明終)

直接的な証明

上の定理を直接的に証明する.

[証明] $g$, $g'\in G$ について, \begin{align*} gN_{G}(S) = g'N_{G}(S) &\Longleftrightarrow g'^{-1}g\in N_{G}(S) \\ &\Longleftrightarrow (g'^{-1}g)S(g'^{-1}g)^{-1}=S \\ &\Longleftrightarrow gSg^{-1}=g'Sg'^{-1}. \end{align*} よって, 写像 $f$ は well-defined かつ単射である. さらに, 任意の $S'\in \mathcal{M}$ に対して, ある $g\in G$ が存在して, $$ S' = gSg^{-1} = f(gN_{G}(S)),\quad gN_{G}(S)\in G/N_{G}(S). $$ よって, $f$ は全射である. (証明終)

群の作用による証明

上の定理を, 群の作用を使って証明する.

[証明] $\mathcal{S}$ を $G$ の部分集合全体からなる集合とする. $$ G\times\mathcal{S}\rightarrow\mathcal{S},\quad (g, S)\mapsto g\circ S = gSg^{-1} $$ は $G$ の $\mathcal{S}$ への作用である. $S\in\mathcal{S}$ に対し, $S$ の軌道は $$ \mathrm{Orb}(S) = \{g\circ S\mid g\in G\} = \mathcal{M} $$ であり, $S$ の固定群は $$ \mathrm{Stab}(S) = \{g\in G\mid gSg^{-1}=S\} = N_{G}(S) $$ である. このとき, 全単射 $$ G/\mathrm{Stab}(S) \rightarrow \mathrm{Orb}(S),\quad g\,\mathrm{Stab}(S) \mapsto g\circ S $$ が存在する. (証明終)

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【genre : 学問・文化・芸術

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